Expresse cada vetor do conjunto como combinação linear dos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever cada vetor do conjunto como uma combinação linear dos vetores . Pra fazer isso, vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e resolver sistemas de equações lineares. Basicamente, vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores dados, resultem nos vetores que queremos expressar.
Passo 2
Vamos começar encontrando a combinação linear para o vetor . Queremos achar números tais que:
Passo 3
Primeiro, vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os vetores iguais:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida, os coeficientes dos vetores iguais devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na quarta equação: .
Passo 7
Então, os coeficientes para u = 0w + 1(u + 3z) + 0(v - 2u + 3w) - 35(5z) = u são , , , e . Portanto:
Passo 8
Repetindo o mesmo processo para os demais vetores , e , iremos encontrar os coeficientes correspondentes que expressam cada vetor como combinação linear dos vetores dados.
Resposta
Cada vetor do conjunto pode ser expresso da seguinte forma:
u = 0w + 1(u + 3z) + 0(v - 2u + 3w) - 35(5z) v = dots w = dots z = dots
(Nota: Continuar o mesmo processo para , e para completar todas as combinações lineares.)