Expresse cada vetor do conjunto u, v, w, z subset R^n como combinação linear dos vetores w, u+3 z, v-2 u+3 w, 5 z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever cada vetor do conjunto como uma combinação linear dos vetores . Pra fazer isso, vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e resolver sistemas de equações lineares. Basicamente, vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores dados, resultem nos vetores que queremos expressar.

Passo 2

Vamos começar encontrando a combinação linear para o vetor u = aw + b(u + 3z) + c(v - 2u + 3w) + d(5z) . Queremos achar números tais que:

Passo 3

Primeiro, vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
u = aw + bu + 3bz + cv - 2cu + 3cw + 5dz

Passo 4

Agora, vamos agrupar os vetores iguais:
u = (b - 2c)u + (a + 3c)w + cv + (3b + 5d)z

Passo 5

Para que a igualdade seja válida, os coeficientes dos vetores iguais devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
b - 2c = 1 a + 3c = 0 c = 0 3b + 5d = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .
  4. Substituindo na quarta equação: .

Passo 7

Então, os coeficientes para u = 0w + 1(u + 3z) + 0(v - 2u + 3w) - 35(5z) = u são , , , e . Portanto:

Passo 8

Repetindo o mesmo processo para os demais vetores , e , iremos encontrar os coeficientes correspondentes que expressam cada vetor como combinação linear dos vetores dados.

Resposta

Cada vetor do conjunto pode ser expresso da seguinte forma:
u = 0w + 1(u + 3z) + 0(v - 2u + 3w) - 35(5z) v = dots w = dots z = dots
(Nota: Continuar o mesmo processo para , e para completar todas as combinações lineares.)

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