Defina ordem de um grupo
. Dê exemplos.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para a gente definir a ordem de um grupo
e dar alguns exemplos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre teoria de grupos, que faz parte da álgebra abstrata. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, o que é um grupo? Um grupo é um conjunto
junto com uma operação binária
que combina dois elementos de
para formar outro elemento de
. Para que
seja um grupo, essa operação precisa satisfazer quatro propriedades:
- Associatividade:
para todo . - Elemento neutro: Existe um elemento
tal que para todo . - Elemento inverso: Para cada
, existe um elemento tal que , onde é o elemento neutro. - Fechamento: Para todo
, o resultado da operação também está em .
Passo 3
Agora, o que é a ordem de um grupo? A ordem de um grupo
é simplesmente o número de elementos que esse grupo tem. Se
tem finitidade, dizemos que
é um grupo finito, e sua ordem é esse número de elementos. Se não tiver finitude, chamamos de grupo infinito.
Matematicamente, se
é finito, então a ordem de
é
, ou seja, o número de elementos em
.
Passo 4
Vamos ver alguns exemplos para clarear as ideias:
-
Grupo dos números inteiros com a adição: Considere
com a operação . Cada inteiro tem um inverso (seu negativo), e a operação é associativa. Esse grupo é infinito, então a ordem de é infinita. -
Grupo cíclico de ordem 5: Seja
com a operação de adição módulo 5. Este grupo tem 5 elementos, então a ordem de é 5. -
Grupo simétrico
: Este é o grupo de todas as permutações de 3 elementos. Ele tem 6 elementos (as possíveis rearrumações), então a ordem de é 6.
Resposta
A ordem de um grupo
é o número de elementos que o conjunto
possui. Por exemplo, o grupo cíclico
tem ordem 5, e o grupo simétrico
tem ordem 6.
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.
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é grupo abeliano.