Defina ordem de um grupo (G, *). Dê exemplos.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para a gente definir a ordem de um grupo e dar alguns exemplos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre teoria de grupos, que faz parte da álgebra abstrata. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, o que é um grupo? Um grupo é um conjunto junto com uma operação binária que combina dois elementos de para formar outro elemento de . Para que seja um grupo, essa operação precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Associatividade: para todo .
  2. Elemento neutro: Existe um elemento tal que para todo .
  3. Elemento inverso: Para cada , existe um elemento tal que , onde é o elemento neutro.
  4. Fechamento: Para todo , o resultado da operação também está em .

Passo 3

Agora, o que é a ordem de um grupo? A ordem de um grupo é simplesmente o número de elementos que esse grupo tem. Se tem finitidade, dizemos que é um grupo finito, e sua ordem é esse número de elementos. Se não tiver finitude, chamamos de grupo infinito.
Matematicamente, se é finito, então a ordem de é , ou seja, o número de elementos em .

Passo 4

Vamos ver alguns exemplos para clarear as ideias:
  1. Grupo dos números inteiros com a adição: Considere com a operação . Cada inteiro tem um inverso (seu negativo), e a operação é associativa. Esse grupo é infinito, então a ordem de é infinita.
  2. Grupo cíclico de ordem 5: Seja com a operação de adição módulo 5. Este grupo tem 5 elementos, então a ordem de é 5.
  3. Grupo simétrico : Este é o grupo de todas as permutações de 3 elementos. Ele tem 6 elementos (as possíveis rearrumações), então a ordem de é 6.

Resposta

A ordem de um grupo é o número de elementos que o conjunto possui. Por exemplo, o grupo cíclico tem ordem 5, e o grupo simétrico tem ordem 6.

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