Encontre todos os elementos invertíveis de Z12 em relação a multiplicação. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os elementos invertíveis em em relação à multiplicação. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, especificamente sobre números invertíveis em aritmética modular. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em e como identificar esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento invertível. Em a times b equiv 1 (mod n) , um número é invertível em relação à multiplicação se existe outro número tal que:
Isso significa que quando multiplicamos por e dividimos por , o resto é 1.

Passo 3

Para que MDC(a, 12) = 1 seja invertível em , ele precisa ser relativamente primo com 12. Ou seja, o máximo divisor comum (MDC) entre e 12 deve ser 1:
Vamos verificar quais números de 0 a 11 satisfazem essa condição.

Passo 4

Vamos listar os números de 0 a 11 e calcular o MDC de cada um com 12:
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ É invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ É invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ É invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ Não é invertível
  • : ➔ É invertível

Passo 5

Então, os números que têm MDC igual a 1 com 12 são 1, 5, 7 e 11. Esses são os elementos invertíveis em em relação à multiplicação.

Resposta

Os elementos invertíveis de em relação à multiplicação são 1, 5, 7 e 11.

Exercícios relacionados

Encontre todos os geradores do grupo (Z48,+).
Use que varphi(x y)=varphi(x) varphi(y) quando (x, y)=1 para provar que:
m=underbraceP1^alpha1 cdot P2^alpha2 cdot ldots cdot Pn^alphanc decomposição em fatores primos Rightarrow varphi(m)=prodi=1^n Pi^alphai-1(Pi-1) çã
Defina ordem de um grupo (G, *). Dê exemplos.
Defina Relação de Equivalência.