Encontre todos os elementos invertíveis de em relação a multiplicação. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os elementos invertíveis em em relação à multiplicação. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, especificamente sobre números invertíveis em aritmética modular. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em e como identificar esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento invertível. Em , um número é invertível em relação à multiplicação se existe outro número tal que:
Isso significa que quando multiplicamos por e dividimos por , o resto é 1.
Passo 3
Para que seja invertível em , ele precisa ser relativamente primo com 12. Ou seja, o máximo divisor comum (MDC) entre e 12 deve ser 1:
Vamos verificar quais números de 0 a 11 satisfazem essa condição.
Passo 4
Vamos listar os números de 0 a 11 e calcular o MDC de cada um com 12:
: ➔ Não é invertível
: ➔ É invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ É invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ É invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ Não é invertível
: ➔ É invertível
Passo 5
Então, os números que têm MDC igual a 1 com 12 são 1, 5, 7 e 11. Esses são os elementos invertíveis em em relação à multiplicação.
Resposta
Os elementos invertíveis de em relação à multiplicação são 1, 5, 7 e 11.