Defina Relação de Equivalência.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para definir Relação de Equivalência. Isso está dentro da matéria de Teoria das Relações, que é parte da Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma relação e quais são as propriedades que fazem uma relação ser de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação. Em Matemática, uma relação
em um conjunto
é simplesmente um conjunto de pares ordenados
, onde
e
são elementos de
. Pense nisso como uma maneira de conectar elementos dentro do mesmo conjunto.
Passo 3
Agora, para definir uma Relação de Equivalência, precisamos falar sobre três propriedades especiais que essa relação deve ter: reflexividade, simetria e transitividade. Essas propriedades garantem que a relação seja bem comportada de uma certa forma.
Passo 4
Vamos detalhar cada uma dessas propriedades:
-
Reflexividade:
- O que é? Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Formalmente: Para todo
, .
-
Simetria:
- O que é? Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro.
- Formalmente: Se
, então .
-
Transitividade:
- O que é? Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
- Formalmente: Se
e , então .
Passo 5
Com essas três propriedades em mente, estamos prontos para fazer a definição formal de uma Relação de Equivalência.
Resposta
Uma Relação de Equivalência em um conjunto
é uma relação
que satisfaz as seguintes propriedades:
- Reflexividade: Para todo
, . - Simetria: Se
, então . - Transitividade: Se
e , então .
Essas três propriedades juntas garantem que a relação
divide o conjunto
em classes de equivalência, onde elementos dentro da mesma classe estão relacionados entre si.
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. Dê exemplos.
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em relação a multiplicação. Justifique.
Prove que
é grupo abeliano.
Sejam
. Assuma que
e
. Prove que
.