Defina Relação de Equivalência.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para definir Relação de Equivalência. Isso está dentro da matéria de Teoria das Relações, que é parte da Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma relação e quais são as propriedades que fazem uma relação ser de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação. Em Matemática, uma relação em um conjunto é simplesmente um conjunto de pares ordenados , onde e são elementos de . Pense nisso como uma maneira de conectar elementos dentro do mesmo conjunto.

Passo 3

Agora, para definir uma Relação de Equivalência, precisamos falar sobre três propriedades especiais que essa relação deve ter: reflexividade, simetria e transitividade. Essas propriedades garantem que a relação seja bem comportada de uma certa forma.

Passo 4

Vamos detalhar cada uma dessas propriedades:
  • Reflexividade:
    • O que é? Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
    • Formalmente: Para todo , .
  • Simetria:
    • O que é? Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro.
    • Formalmente: Se , então .
  • Transitividade:
    • O que é? Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
    • Formalmente: Se e , então .

Passo 5

Com essas três propriedades em mente, estamos prontos para fazer a definição formal de uma Relação de Equivalência.

Resposta

Uma Relação de Equivalência em um conjunto é uma relação que satisfaz as seguintes propriedades:
  1. Reflexividade: Para todo , .
  2. Simetria: Se , então .
  3. Transitividade: Se e , então .
Essas três propriedades juntas garantem que a relação divide o conjunto em classes de equivalência, onde elementos dentro da mesma classe estão relacionados entre si.

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