Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para provar que o conjunto forma um grupo abeliano. Basicamente, vamos trabalhar com a teoria de grupos da matemática, e para isso, precisamos verificar se todos os requisitos para ser um grupo abeliano estão presentes nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto representa os restos da divisão dos números inteiros por . Ou seja, . A operação que estamos considerando aqui é a adição módulo , simbolizada por .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Para ser um grupo abeliano, além disso, a operação também precisa ser comutativa.
Passo 4
Fechamento: Precisamos ver se, ao somar dois elementos de , o resultado também pertence a . Seja . Então, também estará em , pois estamos sempre pegando o resto da divisão por , que está no intervalo de a .
Associatividade: A adição inteira é associativa, ou seja, . Quando aplicamos o módulo , essa propriedade ainda se mantém, porque estamos apenas ajustando o resultado para ficar dentro do conjunto .
Elemento neutro: O elemento neutro para a adição é , já que para qualquer .
Inversos: Para cada elemento , existe um inverso tal que . Esse inverso é (ou se ).
Passo 5
Comutatividade: Finalmente, precisamos ver se a operação é comutativa, ou seja, para todos . Como a adição inteira é comutativa, essa propriedade também vale quando aplicamos o módulo .
Resposta
Concluímos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo abeliano. Portanto, é de fato um grupo abeliano.