Prove que (Zm,+) é grupo abeliano.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para provar que o conjunto (Zm, +) forma um grupo abeliano. Basicamente, vamos trabalhar com a teoria de grupos da matemática, e para isso, precisamos verificar se todos os requisitos para ser um grupo abeliano estão presentes nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Zm. Esse conjunto representa os restos da divisão dos números inteiros por m. Ou seja, Zm = 0, 1, 2, dots, m-1. A operação que estamos considerando aqui é a adição módulo m, simbolizada por +.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Para ser um grupo abeliano, além disso, a operação também precisa ser comutativa.

Passo 4

Fechamento: Precisamos ver se, ao somar dois elementos de Zm, o resultado também pertence a Zm. Seja a, b in Zm. Então, a + b mod m também estará em Zm, pois estamos sempre pegando o resto da divisão por m, que está no intervalo de 0 a m-1.
Associatividade: A adição inteira é associativa, ou seja, (a + b) + c = a + (b + c). Quando aplicamos o módulo m, essa propriedade ainda se mantém, porque estamos apenas ajustando o resultado para ficar dentro do conjunto Zm.
Elemento neutro: O elemento neutro para a adição é 0, já que a + 0 mod m = a para qualquer a in Zm.
Inversos: Para cada elemento a in Zm, existe um inverso b tal que a + b mod m = 0. Esse inverso é m - a (ou 0 se a = 0).

Passo 5

Comutatividade: Finalmente, precisamos ver se a operação é comutativa, ou seja, a + b mod m = b + a mod m para todos a, b in Zm. Como a adição inteira é comutativa, essa propriedade também vale quando aplicamos o módulo m.

Resposta

Concluímos que (Zm, +) satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo abeliano. Portanto, (Zm, +) é de fato um grupo abeliano.

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