Defina ponto crítico de uma função real de várias variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos o que é um ponto crítico de uma função real com várias variáveis. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, e para resolver, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como elas nos ajudam a identificar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função de várias variáveis, tipo
, tem derivadas em relação a cada uma dessas variáveis, chamadas de derivadas parciais. Elas mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo as outras constantes.
Passo 3
Um ponto crítico é aquele ponto específico onde todas essas derivadas parciais são iguais a zero. Isso quer dizer que, naquele ponto, a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. É tipo o “plano de equilíbrio” da função.
Passo 4
Matematicamente, se a gente tem uma função
, um ponto
é chamado de ponto crítico se todas as derivadas parciais em relação a cada variável são zero naquele ponto. Ou seja:
Resposta
Um ponto crítico de uma função real de várias variáveis é um ponto onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Formalmente, para uma função
, o ponto
é crítico se: