Defina pontos de máximo e de mínimo locais de uma função de duas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai falar sobre pontos de máximo e mínimo locais de uma função de duas variáveis. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como uma função se comporta em diferentes direções. Para entender esses pontos, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como elas ajudam a identificar esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de duas variáveis. Imagina que você tem uma função
que depende de duas variáveis,
e
. O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre máximos e mínimos locais. Um ponto de máximo local é um ponto na superfície onde a função atinge o valor mais alto em uma pequena vizinhança ao redor dele. Da mesma forma, um ponto de mínimo local é onde a função atinge o menor valor nessa vizinhança.
Passo 4
Para encontrar esses pontos, a gente usa as derivadas parciais da função. Calculamos as derivadas de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Esses valores nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde as derivadas são zero ou não existem.
Passo 5
Depois de achar os pontos críticos, a gente precisa determinar se cada ponto é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo de
,
e
. Com esses valores, calculamos o discriminante
:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, o ponto é de sela. - Se
, o teste não é conclusivo.
Resposta
Então, pontos de máximo local de uma função de duas variáveis são aqueles onde a função atinge um valor mais alto em uma pequena região ao redor, identificado quando
e
. Já os pontos de mínimo local são onde a função atinge o menor valor na vizinhança, ocorrendo quando
e
. Esses pontos são encontrados através das derivadas parciais e do teste da segunda derivada.