Defina pontos de máximo e de mínimo locais de uma função de duas variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai falar sobre pontos de máximo e mínimo locais de uma função de duas variáveis. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como uma função se comporta em diferentes direções. Para entender esses pontos, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como elas ajudam a identificar esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de duas variáveis. Imagina que você tem uma função que depende de duas variáveis, e . O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre máximos e mínimos locais. Um ponto de máximo local é um ponto na superfície onde a função atinge o valor mais alto em uma pequena vizinhança ao redor dele. Da mesma forma, um ponto de mínimo local é onde a função atinge o menor valor nessa vizinhança.

Passo 4

Para encontrar esses pontos, a gente usa as derivadas parciais da função. Calculamos as derivadas de em relação a e , ou seja, e . Esses valores nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde as derivadas são zero ou não existem.

Passo 5

Depois de achar os pontos críticos, a gente precisa determinar se cada ponto é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo de , e . Com esses valores, calculamos o discriminante :
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , o ponto é de sela.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Resposta

Então, pontos de máximo local de uma função de duas variáveis são aqueles onde a função atinge um valor mais alto em uma pequena região ao redor, identificado quando e . Já os pontos de mínimo local são onde a função atinge o menor valor na vizinhança, ocorrendo quando e . Esses pontos são encontrados através das derivadas parciais e do teste da segunda derivada.

Exercícios relacionados

Utilize as decomposições da questão 11 para resolver os seguintes sistemas:
a) para e
b) para e
Seja
(a) Verificar se satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky.
(b) Decompor em .
© Através da decomposição de Cholesky, calcular o determinante de .
(d) Resolver o sistema , onde .
Defina ponto crítico de uma função real de várias variáveis.
Mostre que a função , dada por , se , e , não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico .