Sejam f: R^2 -> R, dada por f(x, y) = 3y^2 - 2y^3 - 3x^2 + 6xy e A = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, 0 <= y <= } 9 - x.
(a) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos direto ao ponto! A gente tem uma função definida para pontos no conjunto . O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde a derivada parcial da função em relação a e a é zero ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas a zero e resolver o sistema:
Da primeira equa��ão, simplificando:
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela), usamos o Teste da Derivada Segunda. Precisamos calcular as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. No ponto :
Quando , o ponto é um ponto de sela.
  1. No ponto :
Como e , o ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos de são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo local.

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