Sejam
, dada por
e
.
(a) Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
(a) Encontre os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos direto ao ponto! A gente tem uma função
definida para pontos
no conjunto
. O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde a derivada parcial da função em relação a
e a
é zero ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas a zero e resolver o sistema:
Da primeira equa��ão, simplificando:
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela), usamos o Teste da Derivada Segunda. Precisamos calcular as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
- No ponto
:
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
- No ponto
:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos de
são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo local.