Sejam
, dada por
e
.
(a) Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
(a) Encontre os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos direto ao ponto! A gente tem uma função
definida para pontos
no conjunto
. O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde a derivada parcial da função em relação a
e a
é zero ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas a zero e resolver o sistema:
Da primeira equa��ão, simplificando:
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela), usamos o Teste da Derivada Segunda. Precisamos calcular as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
- No ponto
:
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
- No ponto
:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos de
são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo local.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
, dada por
, se
, e
, não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico
.
Defina ponto crítico de uma função real de várias variáveis.
Determine os extremantes de
em
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(d) .
(d)