Utilize as decomposições da questão 11 para resolver os seguintes sistemas:
a) para e
b) para b=(llll3 & 11 & 15)^t e b=(lll1 & 1 & 1)^t
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve sistemas lineares usando a decomposição . O que a gente tem aqui são dois sistemas de equações: um 2x2 e outro 3x3. A decomposição LU é uma técnica que quebra a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, (inferior) e (superior), o que facilita muito na hora de resolver o sistema. Vamos precisar lembrar como fazer essa decomposição e usar ela para encontrar as soluções dos sistemas para os diferentes vetores .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. Temos a matriz A = 16 & 5 1 & 2 :
21 3
E queremos resolver 1 0 para dois vetores :
Vamos começar decompondo em e .
Passo 3
A decomposição LU para uma matriz 2x2 funciona da seguinte forma:
Agora, vamos para a parte b) do exercício. A matriz A = 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 é:
3 11 15
E queremos resolver 1 1 1 para dois vetores :
Primeiro, vamos decompor em e .
Passo 8
Para a decomposição LU de uma matriz 3x3, seguimos o processo de eliminação de Gauss, preenchendo as matrizes L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & 45 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & 115 e .
Após realizar os cálculos (detalhados para simplificação):