Utilize as decomposições A=L U da questão 11 para resolver os seguintes sistemas:
a) (cc16 & 5 1 & 2)binomx1x2=binomb1b2 para b=(ll21,0 & 3)^t e b=(ll1,0 & 0,0)^t
b) (ccc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)(lx1 x2 x3)=(lb1 b2 b3) para b=(llll3 & 11 & 15)^t e b=(lll1 & 1 & 1)^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve sistemas lineares usando a decomposição . O que a gente tem aqui são dois sistemas de equações: um 2x2 e outro 3x3. A decomposição LU é uma técnica que quebra a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, (inferior) e (superior), o que facilita muito na hora de resolver o sistema. Vamos precisar lembrar como fazer essa decomposição e usar ela para encontrar as soluções dos sistemas para os diferentes vetores .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. Temos a matriz A = 16 & 5 1 & 2 :
21 3
E queremos resolver 1 0 para dois vetores :
Vamos começar decompondo em e .

Passo 3

A decomposição LU para uma matriz 2x2 funciona da seguinte forma:
A = LU = 1 & 0 l21 & 1 u11 & u12 0 & u22
Multiplicando 1 cdot u11 + 0 cdot 0 & 1 cdot u12 + 0 cdot u22 l21 cdot u11 + 1 cdot 0 & l21 cdot u12 + 1 cdot u22 = 16 & 5 1 & 2 e L = 1 & 0 116 & 1 , U = 16 & 5 0 & 2716 :
Isso nos dá as equações:
Então, temos:

Passo 4

Agora, para resolver L y = b , fazemos . Vamos chamar , então temos:
Primeiro resolvemos para , e depois para .

Passo 5

Para 21 3 :
Resolvendo y1 = 21 116 y1 + y2 = 3 :
116 cdot 21 + y2 = 3 Rightarrow y2 = 3 - 2116 = 2716
Substituindo 16x1 + 5x2 = 21 2716x2 = 2716 :
16x1 + 5(1) = 21 Rightarrow 16x1 = 16 Rightarrow x1 = 1
Agora, resolvendo 21 3 :
x = 1 1
Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira:
Solução para :

Passo 6

Para 1 0 :
Resolvendo y1 = 1 116 y1 + y2 = 0 :
116 cdot 1 + y2 = 0 Rightarrow y2 = -116
Substituindo 16x1 + 5x2 = 1 2716x2 = -116 :
x2 = -116 div 2716 = -127
Agora, resolvendo 16x1 + 5(-127) = 1 Rightarrow 16x1 = 1 + 527 = 3227 Rightarrow x1 = 227 :
1 0
Da segunda equação:
x = 227 -127
Substituindo na primeira:
Solução para :

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) do exercício. A matriz A = 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 é:
3 11 15
E queremos resolver 1 1 1 para dois vetores :
Primeiro, vamos decompor em e .

Passo 8

Para a decomposição LU de uma matriz 3x3, seguimos o processo de eliminação de Gauss, preenchendo as matrizes L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & 45 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & 115 e .
Após realizar os cálculos (detalhados para simplificação):

Passo 9

Agora, resolvemos 3 11 15 chamando y1 = 3 12 y1 + y2 = 11 Rightarrow y2 = 11 - 32 = 192 45 y2 + y3 = 15 Rightarrow y3 = 15 - 45 cdot 192 = 15 - 385 = 375 .
Primeiro, resolvemos 2x1 + x2 = 3 112x2 + 4x3 = 192 115x3 = 375 para x3 = 375 div 115 = 3711 = 3711 = 3711 = 336 , depois 112x2 + 4 cdot 3711 = 192 Rightarrow 112x2 = 192 - 14811 = 209 - 29622 = -8722 Rightarrow x2 = -8722 cdot 211 = -87121 = -87121 para 2x1 + (-87121) = 3 Rightarrow 2x1 = 3 + 87121 = 363 + 87121 = 450121 Rightarrow x1 = 225121 .
Para 3 11 15 :
Resolvendo x = 225121 -87121 3711 :
Agora, resolvendo :
Da terceira equação:
Substituindo em segunda equação:
Finalmente, da primeira equação:
Solução para :

Passo 10

Para 1 1 1 :
Resolvendo y1 = 1 12 y1 + y2 = 1 Rightarrow y2 = 1 - 12 = 12 45 y2 + y3 = 1 Rightarrow y3 = 1 - 45 cdot 12 = 1 - 25 = 35 :
2x1 + x2 = 1 112x2 + 4x3 = 12 115x3 = 35
Agora, resolvendo x3 = 35 div 115 = 311 :
112x2 + 4 cdot 311 = 12 Rightarrow 112x2 = 12 - 1211 = 11 - 2422 = -1322 Rightarrow x2 = -1322 cdot 211 = -13121
Da terceira equação:
2x1 + (-13121) = 1 Rightarrow 2x1 = 1 + 13121 = 121 + 13121 = 134121 Rightarrow x1 = 67121
Substituindo na segunda equação:
1 1 1
Finalmente, da primeira equação:
x = 67121 -13121 311
Solução para :

Resposta

As soluções dos sistemas são:
a)
  1. Para 21 3 :
x = 1 1
  1. Para 1 0 :
x = dfrac227 -dfrac127
b)
  1. Para 3 11 15 :
x = dfrac225121 -dfrac87121 dfrac3711
  1. Para 1 1 1 :
x = dfrac67121 -dfrac13121 dfrac311

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