Mostre que a função
, dada por
, se
, e
, não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que a função
, definida por
quando
e
, não tem derivadas parciais no ponto crítico
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrar que uma derivada parcial em um ponto existe se o limite da taxa de variação em uma direção específica existir nesse ponto. Ou seja, para
ter derivadas parciais em
, os limites:
devem existir.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
:
Aqui,
é igual a 1 se
e -1 se
. Então, o limite depende da direção por onde
se aproxima de 0.
Passo 4
Como o limite de
não é o mesmo quando
se aproxima de 0 pela direita (1) e pela esquerda (-1), o limite não existe. Portanto, a derivada parcial em relação a
no ponto
não existe.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
:
De maneira semelhante ao caso anterior,
é 1 se
e -1 se
, o que significa que o limite também não existe para a derivada parcial em relação a
.
Passo 6
Como as derivadas parciais em
e
no ponto
não existem, concluímos que a função
não tem derivadas parciais nesse ponto crítico.
Resposta
Portanto, a função
não possui derivadas parciais no ponto crítico
.
Exercícios relacionados
Defina ponto crítico de uma função real de várias variáveis.
Defina pontos de máximo e de mínimo locais de uma função de duas variáveis.
Sejam
, dada por
e
.
(a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.
(a) Encontre os pontos críticos de
Determine os extremantes de
em