Mostre que a função , dada por , se , e , não tem derivadas parciais em seu único ponto crítico .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que a função , definida por quando e , não tem derivadas parciais no ponto crítico . Vamos usar conceitos de derivadas parciais e limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrar que uma derivada parcial em um ponto existe se o limite da taxa de variação em uma direção específica existir nesse ponto. Ou seja, para ter derivadas parciais em , os limites:
devem existir.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Aqui, é igual a 1 se e -1 se . Então, o limite depende da direção por onde se aproxima de 0.

Passo 4

Como o limite de não é o mesmo quando se aproxima de 0 pela direita (1) e pela esquerda (-1), o limite não existe. Portanto, a derivada parcial em relação a no ponto não existe.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
De maneira semelhante ao caso anterior, é 1 se e -1 se , o que significa que o limite também não existe para a derivada parcial em relação a .

Passo 6

Como as derivadas parciais em e no ponto não existem, concluímos que a função não tem derivadas parciais nesse ponto crítico.

Resposta

Portanto, a função não possui derivadas parciais no ponto crítico .

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Sejam , dada por e .
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