Seja
(a) Verificar se satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky.
(b) Decompor em .
© Através da decomposição de Cholesky, calcular o determinante de .
(d) Resolver o sistema , onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma matriz e precisamos realizar algumas tarefas relacionadas à decomposição de Cholesky. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de decomposições de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a decomposição de Cholesky, verificar se a matriz cumpre as condições para essa decomposição, efetuar a decomposição, calcular o determinante usando a decomposição e, por fim, resolver um sistema linear usando essa decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky. Para isso, a matriz precisa ser simétrica e definida positiva.

Passo 3

Vamos verificar se é simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, se o elemento da posição (i, j) é igual ao elemento da posição (j, i) para todos e .
Vendo os elementos, percebemos que e , e , e . Então, é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Outra forma é verificar se os menores determinantes principais são positivos.
Calculando os determinantes principais:
  • Primeiro minor:
  • Segundo minor:
  • Terceiro minor (determinante de ):
Como todos os menores principais são positivos, é definida positiva.

Passo 5

Como é simétrica e definida positiva, ela satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky.

Passo 6

Agora, vamos decompor em , onde é uma matriz triangular inferior. A decomposição de Cholesky nos diz que:
Vamos encontrar os elementos de da seguinte maneira:
Calculando passo a passo:

  1. Então,

Passo 7

Vamos calcular o determinante de usando a decomposição de Cholesky. Sabemos que:
Como é uma matriz triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Portanto,

Passo 8

Por fim, vamos resolver o sistema , onde . Usando a decomposição , podemos resolver e depois .
Primeiro, resolvemos :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Então, .
Agora, resolvemos :
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Então, a solução é:

Resposta

A solução do sistema é .

Exercícios relacionados

Encontre a decomposição das seguintes matrizes:
Seja:
(a) Verificar se satisfaz as condições para a existência da decomposição (sem pivotamento).
(b) Decompor em e .
© Através da decomposição , calcular o determinante de .
(d) Resolver o sistema , onde .
(e) Resolver o sistema , onde .
Utilize as decomposições da questão 11 para resolver os seguintes sistemas:
a) para e
b) para e
Defina pontos de máximo e de mínimo locais de uma função de duas variáveis.