Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma matriz e precisamos realizar algumas tarefas relacionadas à decomposição de Cholesky. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de decomposições de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a decomposição de Cholesky, verificar se a matriz cumpre as condições para essa decomposição, efetuar a decomposição, calcular o determinante usando a decomposição e, por fim, resolver um sistema linear usando essa decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky. Para isso, a matriz precisa ser simétrica e definida positiva.
Passo 3
Vamos verificar se é simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, se o elemento da posição (i, j) é igual ao elemento da posição (j, i) para todos e .
Vendo os elementos, percebemos que e , e , e . Então, é simétrica.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Outra forma é verificar se os menores determinantes principais são positivos.
Calculando os determinantes principais:
Primeiro minor:
Segundo minor:
Terceiro minor (determinante de ):
Como todos os menores principais são positivos, é definida positiva.
Passo 5
Como é simétrica e definida positiva, ela satisfaz as condições para a existência da decomposição de Cholesky.
Passo 6
Agora, vamos decompor em , onde é uma matriz triangular inferior. A decomposição de Cholesky nos diz que:
Vamos encontrar os elementos de da seguinte maneira:
Calculando passo a passo:
Então,
Passo 7
Vamos calcular o determinante de usando a decomposição de Cholesky. Sabemos que:
Como é uma matriz triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Portanto,
Passo 8
Por fim, vamos resolver o sistema , onde . Usando a decomposição , podemos resolver e depois .