Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, em uma relação de equivalência em um conjunto
, as classes de equivalência de
e
são iguais se e somente se
está relacionado com
(
). Estamos lidando com relações de equivalência, que são relações que são reflexivas, simétricas e transitivas. Para resolver isso, vamos mostrar as duas direções da equivalência: se as classes são iguais, então
, e se
, então as classes são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma classe de equivalência. Dada uma relação de equivalência
em
, a classe de equivalência de um elemento
em
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos de
que estão relacionados com
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos provar a primeira direção: se
, então
.
Sabendo que
, pelo menos um elemento pertence à classe de
. Como
está na própria classe
, então
. Mas
, então
, o que significa que
, porque
contém todos os elementos relacionados a
.
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: se
, então
.
Assumindo que
, queremos mostrar que todo elemento relacionado a
está relacionado a
e vice-versa.
Seja
, então
. Como
e a relação é transitiva (porque é uma relação de equivalência), temos
. Isso significa que
. Assim,
.
Analogamente, seja
, então
. Como
(pela simetria da relação), temos
, ou seja,
. Portanto,
.
Como
e
, concluímos que
.
Resposta
Portanto, provamos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Defina Potência em um grupo
.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) , onde
e)
Prove que um elemento
tem inverso multiplicativo, se e somente se,
.
Seja
um grupo contendo exatamente 2 n elementos,
inteiro. Prove que existe
, tal que
, onde
representa a identidade de G.