Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y in A. Prove que:
a) barx=bary Leftrightarrow x sim y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, em uma relação de equivalência em um conjunto , as classes de equivalência de e são iguais se e somente se está relacionado com ( ). Estamos lidando com relações de equivalência, que são relações que são reflexivas, simétricas e transitivas. Para resolver isso, vamos mostrar as duas direções da equivalência: se as classes são iguais, então , e se , então as classes são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma classe de equivalência. Dada uma relação de equivalência barx = z in A mid z sim x em , a classe de equivalência de um elemento em , denotada por , é o conjunto de todos os elementos de que estão relacionados com . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos provar a primeira direção: se , então .
Sabendo que , pelo menos um elemento pertence à classe de . Como está na própria classe , então . Mas , então , o que significa que , porque contém todos os elementos relacionados a .

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: se , então .
Assumindo que , queremos mostrar que todo elemento relacionado a está relacionado a e vice-versa.
Seja , então . Como e a relação é transitiva (porque é uma relação de equivalência), temos . Isso significa que . Assim, .
Analogamente, seja , então . Como (pela simetria da relação), temos , ou seja, . Portanto, .
Como e , concluímos que .

Resposta

Portanto, provamos que se e somente se .

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