Defina precisamente as expressões matemáticas abaixo, falando do domínio de f e de p caso necessário: lim x p f(x)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente definir de forma precisa a expressão matemática lim x p f(x)=+infty. Estamos lidando com o cálculo, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um limite que tende ao infinito e também considerar o domínio das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. Basicamente, lim x p f(x) representa o valor que f(x) está se aproximando quando x se aproxima de p. Quando dizemos que esse limite é +infty, estamos dizendo que os valores de f(x) ficam cada vez maiores sem limite enquanto x se aproxima de p.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o domínio de f. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função f(x) está definida. Para que o limite lim x p f(x)=+infty exista, p deve estar no domínio de f, ou seja, f(p) não precisa necessariamente estar definido, mas f(x) precisa estar definida para valores de x próximos a p.

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que, à medida que x se aproxima de p, f(x) realmente cresça sem limites. Isso significa que, para qualquer número grande que a gente imaginar, existe um valor de x suficientemente próximo de p tal que f(x) será maior que esse número. Formalmente, para todo M > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - p| < de, então f(x) > M.

Passo 5

Também é importante considerar de que lado x está se aproximando de p. Pode ser pela direita ( x p^+) ou pela esquerda ( x p^-). Dependendo disso, a definição pode variar ligeiramente, mas aqui estamos considerando o limite geral à medida que x se aproxima de p por qualquer direção.

Resposta

A expressão lim x p f(x)=+infty significa que, conforme x se aproxima de p, os valores de f(x) aumentam sem limites. Para que isso seja válido, f deve estar definida para todos os x próximos a p (exceto possivelmente em p), e, formalmente, para todo número real positivo M, existe uma distância de em torno de p tal que se 0 < |x - p| < de, então f(x) > M.

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