Sejam x e p números reais quaisquer e delta um número real positivo. Mostre que |x - p| < delta se e somente se p - delta < x < p + delta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números reais quaisquer, e , e um número real positivo . A questão quer que a gente mostre que a desigualdade é equivalente a . Isso faz parte do conteúdo de inequações e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como ele se relaciona com desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O símbolo de valor absoluto, , nos dá a distância entre e na reta numérica. Então, significa que a distância entre e é menor que .
Matematicamente, podemos reescrever essa desigualdade sem o valor absoluto da seguinte maneira:
Isso é porque o valor absoluto de um número é sempre positivo, então implica que está entre e .

Passo 3

Agora, vamos isolar na desigualdade . Para isso, adicionamos a todas as partes da desigualdade:
Simplificando, temos:
Então, mostramos que implica que .

Passo 4

Para completar a equivalência, precisamos mostrar o contrário: que também implica .
Se sabemos que está entre e , então a distância de para é menor que . Ou seja:
Isso confirma que as duas desigualdades são equivalentes.

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se .

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