Sejam
e
números reais quaisquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números reais quaisquer,
e
, e um número real positivo
. A questão quer que a gente mostre que a desigualdade
é equivalente a
. Isso faz parte do conteúdo de inequações e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como ele se relaciona com desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O símbolo de valor absoluto,
, nos dá a distância entre
e
na reta numérica. Então,
significa que a distância entre
e
é menor que
.
Matematicamente, podemos reescrever essa desigualdade sem o valor absoluto da seguinte maneira:
Isso é porque o valor absoluto de um número é sempre positivo, então
implica que
está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
na desigualdade
. Para isso, adicionamos
a todas as partes da desigualdade:
Simplificando, temos:
Então, mostramos que
implica que
.
Passo 4
Para completar a equivalência, precisamos mostrar o contrário: que
também implica
.
Se sabemos que
está entre
e
, então a distância de
para
é menor que
. Ou seja:
Isso confirma que as duas desigualdades são equivalentes.
Resposta
Assim, mostramos que
se e somente se
.