Verifique se y = x * e^(2 * x) + e^(x) é solução da equação y'' - 4y' + 4y = e^x.

Passo 1

Nesta questão, precisamos verificar se a função é solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e substituição direta na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é composta por duas partes, então vamos derivar cada uma separadamente.
Derivando :
Usamos a regra do produto: se e , então e . Portanto:
Derivando :
A derivada de é simplesmente .
Portanto, a primeira derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , ou seja, .
Derivando :
Primeiro, derivamos :
A derivada de é .
Em seguida, derivamos :
Usamos novamente a regra do produto. Se e , então e . Assim:
Finalmente, derivamos :
A derivada de é .
Portanto, a segunda derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial e verificar se o resultado é igual a .
Substituindo:
Vamos expandir:
Agora, vamos simplificar somando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, é solução da equação diferencial .

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