Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: cos x=sumn >= 0(-1)^n x^2 n(2 n)!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para definir o raio e o intervalo de convergência da série de Taylor da função cosseno:
cos x = sumn >= 0 (-1)^n x^2n(2n)!
Aqui, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n x^2n(2n)!
O Teste da Razão funciona calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito:

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))!(-1)^n x^2n(2n)! | = | x^2 (2n+2)(2n+1) |
Simplificando:
| an+1an | = x^2(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty x^2(2n+2)(2n+1) = limn to infty x^24n^2 + 6n + 2 = 0 :
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme aumenta.

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. No nosso caso, , que é sempre menor que 1, independentemente do valor de .

Passo 6

Isso significa que a série converge para qualquer valor real de . Portanto, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo x é interceptado.
4x - 5y + 20 = 0.
Em cada situação abaixo, dados os dois pontos P1 e P2, encontre a distância entre os pontos e a equação da reta que passa por eles.
P1(2,3), P2(-1,1).
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo x é interceptado.
A reta faz um ângulo de 30 graus com o eixo x, e passa por 0,2.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cos(a x).