Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como determinar para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão à nossa série , vamos considerar o termo geral . Agora, calculamos o limite:
Simplificando:
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Portanto:
Passo 4
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
| xe | < 1 implies |x| < e
Isso nos diz que o raio de convergência é .
Passo 5
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, analisamos os limites sum n!e^nn^n e sum n!(-e)^nn^n .
Para :
Este é um caso que pode ser testado usando o Teste da Razão novamente, mas geralmente séries com termos tendem a divergir.
Para :
Novamente, os termos não tendem a zero rapidamente o suficiente para garantir a convergência.
Portanto, a série não converge nos pontos .
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .