Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum n!x^nn^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como determinar para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à nossa série limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)!x^n+1(n+1)^n+1 cdot n^nn!x^n | , vamos considerar o termo geral = limn to infty | (n+1)xn+1 cdot ( nn+1 )^n | = limn to infty | x cdot ( nn+1 )^n | . Agora, calculamos o limite:
Simplificando:
limn to infty | x cdot 1e | = | xe |
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Portanto:

Passo 4

Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
| xe | < 1 implies |x| < e
Isso nos diz que o raio de convergência é .

Passo 5

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, analisamos os limites sum n!e^nn^n e sum n!(-e)^nn^n .
  • Para :
Este é um caso que pode ser testado usando o Teste da Razão novamente, mas geralmente séries com termos tendem a divergir.
  • Para :
Novamente, os termos não tendem a zero rapidamente o suficiente para garantir a convergência.
Portanto, a série não converge nos pontos .

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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