Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum 1n+3 x^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde a gente analisa para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar onde uma série de potências converge. O teste basicamente calcula o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, temos:
L = limn to infty | an+1an |
No nosso caso, an+1an = 1(n+1)+31n+3 = n+3n+4 , então:

Passo 4

Calculando o limite:
L = limn to infty n+3n+4 = limn to infty 1 + 3n1 + 4n = 1 + 01 + 0 = 1

Passo 5

O raio de convergência R = 1L = 11 = 1 é dado por:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para , ou seja, . Isso nos dá o intervalo . Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, em e .

Passo 7

Para sum 1n+3 cdot 1^n = sum 1n+3 :
A série se torna:
Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos que diverge. Então, não está incluído no intervalo de convergência.

Passo 8

Para sum 1n+3 cdot (-1)^n :
A série fica:
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste das Séries Alternadas, verificamos que os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero. Assim, a série converge condicionalmente para .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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x^4 - 4 x^2 + 4 = 0
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum (-1)^n n2^n x^n.
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