Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde a gente analisa para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar onde uma série de potências converge. O teste basicamente calcula o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, temos:
No nosso caso, an+1an = 1(n+1)+31n+3 = n+3n+4 , então:
Passo 4
Calculando o limite:
L = limn to infty n+3n+4 = limn to infty 1 + 3n1 + 4n = 1 + 01 + 0 = 1
Passo 5
O raio de convergência R = 1L = 11 = 1 é dado por:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para , ou seja, . Isso nos dá o intervalo . Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, em e .
Passo 7
Para sum 1n+3 cdot 1^n = sum 1n+3 :
A série se torna:
Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos que diverge. Então, não está incluído no intervalo de convergência.
Passo 8
Para sum 1n+3 cdot (-1)^n :
A série fica:
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste das Séries Alternadas, verificamos que os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero. Assim, a série converge condicionalmente para .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .