Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum (-1)^3 n(x-2)^2 n3^2 n n^3.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sum (-1)^3n(x-2)^2n3^2n n^3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Raio de Convergência e o Teste da Razão. Esses conceitos ajudam a determinar até onde a série converge e em qual intervalo de valores de isso acontece.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série. Observe que:
(-1)^3n = [(-1)^3]^n = (-1)^n
Assim, a série fica:
sum (-1)^n (x-2)^2n3^2n n^3
Isso mostra que temos uma série de potências centrada em .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 4

Calculando an+1an = (-1)^n+1 (x-2)^2(n+1)3^2(n+1) (n+1)^3 times 3^2n n^3(-1)^n (x-2)^2n :
Simplificando:
= (-1) times (x-2)^23^2 times ( nn+1 )^3
Como estamos interessados no valor absoluto:
| an+1an | = (x-2)^29 times ( nn+1 )^3

Passo 5

Calculando o limite L = limn to infty (x-2)^29 times ( nn+1 )^3 = (x-2)^29 times 1 = (x-2)^29 :
(x-2)^29 < 1
Segundo o Teste da Razão, a série converge se :

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
(x-2)^2 < 9 implies |x - 2| < 3
Então, o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que -3 < x - 2 < 3 implies -1 < x < 5 , o que nos dá:
Devemos verificar a convergência nos pontos finais e .

Passo 8

Para sum (-1)^n (-1 - 2)^2n3^2n n^3 = sum (-1)^n ( -3)^2n 9^n n^3 = sum (-1)^n 9^n9^n n^3 = sum (-1)^nn^3 :
Substituindo na série:
sum (-1)^n (5 - 2)^2n3^2n n^3 = sum (-1)^n 3^2n9^n n^3 = sum (-1)^n 9^n9^n n^3 = sum (-1)^nn^3
Essa é uma série alternada que converge absolutamente, já que converge.
Para :
Substituindo na série:
Novamente, uma série alternada que converge absolutamente.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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