Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo theta nos seguintes casos:
cos(theta) = -1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para um ângulo θ, sabendo que . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas que relacionam essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o seno de θ. Sabemos que a relação entre seno e cosseno é dada pela identidade pitagórica:
Como já temos o valor de cos(theta), podemos substituir:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
O sinal positivo ou negativo depende do quadrante onde o ângulo θ está localizado.

Passo 3

Vamos determinar o quadrante onde θ está. Sabemos que é negativo, o que significa que θ está no segundo ou terceiro quadrante.
  • Segundo quadrante: Seno positivo, cosseno negativo.
  • Terceiro quadrante: Seno negativo, cosseno negativo.
Portanto, temos duas possibilidades para :
  • No segundo quadrante:
  • No terceiro quadrante:

Passo 4

Agora, vamos calcular a tangente de θ usando a definição básica:
Substituindo os valores:
  • Segundo quadrante:
  • Terceiro quadrante:

Passo 5

Vamos agora encontrar a cotangente de θ, que é o inverso da tangente:
Usando os valores da tangente que encontramos:
  • Segundo quadrante:
  • Terceiro quadrante:

Passo 6

Vamos calcular a secante de θ, que é o inverso do cosseno:
Substituindo o valor de cosseno:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a cossecante de θ, que é o inverso do seno:
Usando os valores de seno:
  • Segundo quadrante:
  • Terceiro quadrante:

Resposta

As funções trigonométricas para o ângulo θ, onde , são:
  • Seno: (segundo quadrante) ou (terceiro quadrante)
  • Tangente: (segundo quadrante) ou (terceiro quadrante)
  • Cotangente: (segundo quadrante) ou (terceiro quadrante)
  • Secante:
  • Cossecante: (segundo quadrante) ou (terceiro quadrante)

Exercícios relacionados

Encontre a área do triângulo no caso em que:
O triângulo for equilátero e seu perímetro medir 36.
Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: sumn >= 1(-1)^n n^32+n^5.
Simplifique as seguintes expressões:
sen(theta) sec(theta) cot(theta)
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum (-1)^3 n(x-2)^2 n3^2 n n^3.