Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para um ângulo θ, sabendo que
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas que relacionam essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o seno de θ. Sabemos que a relação entre seno e cosseno é dada pela identidade pitagórica:
Como já temos o valor de
, podemos substituir:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
O sinal positivo ou negativo depende do quadrante onde o ângulo θ está localizado.
Passo 3
Vamos determinar o quadrante onde θ está. Sabemos que
é negativo, o que significa que θ está no segundo ou terceiro quadrante.
- Segundo quadrante: Seno positivo, cosseno negativo.
- Terceiro quadrante: Seno negativo, cosseno negativo.
Portanto, temos duas possibilidades para
:
- No segundo quadrante:
- No terceiro quadrante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a tangente de θ usando a definição básica:
Substituindo os valores:
- Segundo quadrante:
- Terceiro quadrante:
Passo 5
Vamos agora encontrar a cotangente de θ, que é o inverso da tangente:
Usando os valores da tangente que encontramos:
- Segundo quadrante:
- Terceiro quadrante:
Passo 6
Vamos calcular a secante de θ, que é o inverso do cosseno:
Substituindo o valor de cosseno:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a cossecante de θ, que é o inverso do seno:
Usando os valores de seno:
- Segundo quadrante:
- Terceiro quadrante:
Resposta
As funções trigonométricas para o ângulo θ, onde
, são:
- Seno:
(segundo quadrante) ou (terceiro quadrante) - Tangente:
(segundo quadrante) ou (terceiro quadrante) - Cotangente:
(segundo quadrante) ou (terceiro quadrante) - Secante:
- Cossecante:
(segundo quadrante) ou (terceiro quadrante)
Exercícios relacionados
Encontre a área do triângulo no caso em que:
O triângulo for equilátero e seu perímetro medir 36.
O triângulo for equilátero e seu perímetro medir 36.
Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem:
.
Simplifique as seguintes expressões:
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.