Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo com elementos e . Sabemos que a ordem de é , ou seja, (onde é o elemento neutro do grupo). Além disso, temos que . Nosso objetivo é mostrar que , ou seja, que e comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que multiplicado por ele mesmo cinco vezes dá o elemento neutro: . E, mais importante, nenhum número menor que 5 satisfaz isso, então a ordem de é exatamente 5.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a equação que foi dada: . Queremos manipular essa equação para chegar em . Para isso, vamos tentar “isolar” de jeito que possamos ver a relação direta entre e .
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que é (porque ). Então temos:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por (que é , já que e ):
Simplificando:
Mas como já sabemos que , isso não nos dá nova informação. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos considerar que queremos mostrar que . Para isso, vamos usar a propriedade que e manipular a equação original.
Sabemos que . Vamos multiplicar ambos os lados por :
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos chegar em . Vamos multiplicar ambos os lados da última equação por :