Sejam a, b in(G, *). Assuma que |a|=5 e a^3 * b=b * a^3. Prove que a * b=b * a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo G com elementos a e b. Sabemos que a ordem de a é 5, ou seja, a^5 = e (onde e é o elemento neutro do grupo). Além disso, temos que a^3 * b = b * a^3. Nosso objetivo é mostrar que a * b = b * a, ou seja, que a e b comutam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa |a| = 5. Isso quer dizer que a multiplicado por ele mesmo cinco vezes dá o elemento neutro: a^5 = e. E, mais importante, nenhum número menor que 5 satisfaz isso, então a ordem de a é exatamente 5.

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a equação que foi dada: a^3 * b = b * a^3. Queremos manipular essa equação para chegar em a * b = b * a. Para isso, vamos tentar “isolar” b de jeito que possamos ver a relação direta entre a e b.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação a^3 * b = b * a^3 pela inversa de a^3, que é a^2 (porque a^3 * a^2 = a^5 = e). Então temos:
a^2 * (a^3 * b) = a^2 * (b * a^3)
Simplificando o lado esquerdo:
(a^2 * a^3) * b = e * b = b
E o lado direito:
a^2 * b * a^3
Então a equação fica:
b = a^2 * b * a^3

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por a^-2 (que é a^3, já que a^5 = e e a^-2 = a^5-2 = a^3):
a^3 * b = a^3 * a^2 * b * a^3
Simplificando:
a^3 * b = a^5 * b * a^3 = e * b * a^3 = b * a^3
Mas como já sabemos que a^3 * b = b * a^3, isso não nos dá nova informação. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos considerar que queremos mostrar que a * b = b * a. Para isso, vamos usar a propriedade que a^5 = e e manipular a equação original.
Sabemos que a^3 * b = b * a^3. Vamos multiplicar ambos os lados por a^2:
a^2 * a^3 * b = a^2 * b * a^3
Simplificando:
a^5 * b = a^2 * b * a^3 e * b = a^2 * b * a^3 b = a^2 * b * a^3

Passo 7

Agora, queremos chegar em a * b = b * a. Vamos multiplicar ambos os lados da última equação por a:
a * b = a * a^2 * b * a^3 = a^3 * b * a^3
Mas sabemos que a^3 * b = b * a^3, então podemos substituir:
a * b = b * a^3 * a^3 = b * a^6
Como a^5 = e, então a^6 = a^5 * a = e * a = a. Portanto:
a * b = b * a

Resposta

Concluímos que a * b = b * a, ou seja, a e b comutam no grupo G.

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i) |b|=r e|c|=s