Defina sen z = (e^(i z) - e^(-i z)) / (2 i) e cos z = (e^(i z) + e^(-i z)) / 2 onde i = raiz(-1). Mostre que d/dz (sen z) = cos z

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que a derivada da função seno definida por é igual à função cosseno definida por . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais complexas.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição de :
Queremos encontrar a derivada dessa expressão em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para derivar , vamos derivar cada termo da expressão separadamente. Primeiro, vamos derivar e .
Sabemos que a derivada de em relação a é , onde é uma constante.
Então,

Passo 4

Agora, aplicamos essas derivadas na expressão de :

Passo 5

Simplificando os termos no numerador:
Portanto,

Passo 6

Cancelando o no numerador e denominador:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados