Defina sen
onde
. Mostre que
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que a derivada da função seno definida por
é igual à função cosseno definida por
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais complexas.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição de
:
Queremos encontrar a derivada dessa expressão em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Para derivar
, vamos derivar cada termo da expressão separadamente. Primeiro, vamos derivar
e
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
Então,
Passo 4
Agora, aplicamos essas derivadas na expressão de
:
Passo 5
Simplificando os termos no numerador:
Portanto,
Passo 6
Cancelando o
no numerador e denominador:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
.
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
;
.
Defina sen
onde
. Mostre que
on the interval
.
(b) Compute .
© Show that and
form a fundamental set of solutions of (*) on the interval
.
(d) Solve the initial-value problem .
(b) Compute
© Show that
(d) Solve the initial-value problem