Defina sen onde . Mostre que

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que a derivada da função seno definida por é igual à função cosseno definida por . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais complexas.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição de :
Queremos encontrar a derivada dessa expressão em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para derivar , vamos derivar cada termo da expressão separadamente. Primeiro, vamos derivar e .
Sabemos que a derivada de em relação a é , onde é uma constante.
Então,

Passo 4

Agora, aplicamos essas derivadas na expressão de :

Passo 5

Simplificando os termos no numerador:
Portanto,

Passo 6

Cancelando o no numerador e denominador:

Resposta

Portanto, .

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Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: .
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: ; .
Defina sen onde . Mostre que
on the interval .
(b) Compute .
© Show that and form a fundamental set of solutions of (*) on the interval .
(d) Solve the initial-value problem .