Defina sen z = (e^(i z) - e^(-i z)) / (2 i) e cos z = (e^(i z) + e^(-i z)) / 2 onde i = raiz(-1). Mostre que e^(i z) = cos(z) + i sen(z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve funções trigonométricas complexas. A gente precisa provar que . Para isso, vamos usar as definições de seno e cosseno em termos de exponenciais complexas que foram dadas:
Vamos precisar manipular essas expressões para chegar na fórmula que queremos mostrar.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as equações das definições de e . Assim:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. O termo com no seno fica assim:
Então, a expressão completa fica:

Passo 4

Agora, vamos somar as frações:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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