Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial de segunda ordem da função em relação à segunda variável, ou seja, .
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função :
Precisamos derivar cada uma dessas partes em relação a e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos derivar a primeira parte: .
Para isso, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é , onde .
Calculando :
Portanto, a derivada da primeira parte é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte: .
Aqui, usamos a derivada da função logarítmica, que é:
Onde e .
Assim, a derivada da segunda parte é:

Passo 5

Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada parcial total de em relação a :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Seja . Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de em relação a e a .
Defina sen onde . Mostre que
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