Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial de segunda ordem da função
em relação à segunda variável, ou seja,
.
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função
:
Precisamos derivar cada uma dessas partes em relação a
e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos derivar a primeira parte:
.
Para isso, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
, onde
.
Calculando
:
Portanto, a derivada da primeira parte é:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda parte:
.
Aqui, usamos a derivada da função logarítmica, que é:
Onde
e
.
Assim, a derivada da segunda parte é:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada parcial total de
em relação a
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
;
.
Seja
. Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de
em relação a
e a
.
Defina sen
onde
. Mostre que
Defina sen
onde
. Mostre que