Beleza, vamos resolver a parte (b) desse exercício! A gente tem a equação diferencial:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e, especificamente, o cálculo do Wronskiano para duas soluções dessa equação. Para resolver essa parte, vamos precisar das soluções e da equação, que formam um conjunto fundamental. O Wronskiano nos ajuda a verificar se essas soluções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido por:
Esse determinante nos dá uma medida da independência linear das soluções. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 3
Como não temos as soluções explícitas e aqui, vamos usar uma propriedade importante das equações diferenciais lineares de segunda ordem. O Wronskiano de duas soluções dessas equações satisfaz a seguinte equação diferencial:
Onde é o coeficiente de na equação original. No nosso caso, . Então, a equação para o Wronskiano fica:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Para resolver, podemos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação do Wronskiano pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolando :
Passo 6
Portanto, o Wronskiano é dado por:
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos condições adicionais.
Para provar que e formam um conjunto fundamental, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes no intervalo considerado. Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar se o Wronskiano é diferente de zero em algum ponto do intervalo.
Passo 9
Do passo anterior, sabemos que:
A exponencial nunca é zero para nenhum valor de . Portanto, se , o Wronskiano nunca será zero no intervalo .
Passo 10
Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo, concluímos que e são linearmente independentes nesse intervalo. Assim, elas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada.
Passo 11
Vamos resolver agora a parte (d), que é resolver o problema de valor inicial:
Aqui, além de resolver a equação diferencial, precisamos encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 12
Sabemos que as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares das soluções do conjunto fundamental e :
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 13
Vamos derivar para obter :
Passo 14
Aplicando as condições iniciais:
Para :
E para :
Passo 15
Temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 16
A solução geral será então:
Com os valores de e determinados a partir das condições iniciais.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Onde as constantes e são encontradas resolvendo o sistema de equações obtido pelas condições e .