on the interval .
(b) Compute .
© Show that and form a fundamental set of solutions of (*) on the interval .
(d) Solve the initial-value problem .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) desse exercício! A gente tem a equação diferencial:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e, especificamente, o cálculo do Wronskiano para duas soluções dessa equação. Para resolver essa parte, vamos precisar das soluções e da equação, que formam um conjunto fundamental. O Wronskiano nos ajuda a verificar se essas soluções são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido por:
Esse determinante nos dá uma medida da independência linear das soluções. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 3

Como não temos as soluções explícitas e aqui, vamos usar uma propriedade importante das equações diferenciais lineares de segunda ordem. O Wronskiano de duas soluções dessas equações satisfaz a seguinte equação diferencial:
Onde é o coeficiente de na equação original. No nosso caso, . Então, a equação para o Wronskiano fica:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Para resolver, podemos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação do Wronskiano pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 6

Portanto, o Wronskiano é dado por:
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos condições adicionais.

Passo 7

Agora vamos para a parte ©, onde precisamos mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada no intervalo . Isso significa que e são soluções lineares independentes que geram todas as soluções possíveis da equação.

Passo 8

Para provar que e formam um conjunto fundamental, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes no intervalo considerado. Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar se o Wronskiano é diferente de zero em algum ponto do intervalo.

Passo 9

Do passo anterior, sabemos que:
A exponencial nunca é zero para nenhum valor de . Portanto, se , o Wronskiano nunca será zero no intervalo .

Passo 10

Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo, concluímos que e são linearmente independentes nesse intervalo. Assim, elas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada.

Passo 11

Vamos resolver agora a parte (d), que é resolver o problema de valor inicial:
Aqui, além de resolver a equação diferencial, precisamos encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais dadas.

Passo 12

Sabemos que as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares das soluções do conjunto fundamental e :
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 13

Vamos derivar para obter :

Passo 14

Aplicando as condições iniciais:
Para :
E para :

Passo 15

Temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 16

A solução geral será então:
Com os valores de e determinados a partir das condições iniciais.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Onde as constantes e são encontradas resolvendo o sistema de equações obtido pelas condições e .

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