Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t. z = raiz(1 + x^2 + y^2), x = ln(t), y = cos(t)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra usar a Regra da Cadeia pra achar a derivada de em relação a ( ). A gente vai trabalhar com funções compostas aqui, porque depende de e , que por sua vez dependem de . Vamos precisar saber como derivar funções como logaritmo ( ) e cosseno ( ), e entender a Regra da Cadeia pra juntar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
A ideia é achar , que vai depender de como muda com e , e como e mudam com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra diz que, se depende de e , e e dependem de , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , e as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 6

Como e , podemos substituir esses valores na expressão acima:

Resposta

Então, a derivada de em relação a é:

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