Determine todos os
que satisfazem
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números complexos
que satisfazem certas equações envolvendo as funções hiperbólicas seno () e cosseno (
). Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no contexto dos números complexos e usar um pouco de álgebra para resolver as equações. Vamos chegar lá passo a passo!
Passo 2
Parte (i):
Primeiro, queremos encontrar todos os
tais que .
Sabemos que para um número complexo
, onde
e
são números reais, as funções hiperbólicas podem ser expressas da seguinte forma:
Então, igualando a parte real e a imaginária:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Da primeira equação , temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
A função é igual a zero somente quando
.
Então,
.
Substituindo
na segunda equação:
Isso ocorre quando
, onde
é um número inteiro.
Caso 2:
A função
quando
, onde
é um número inteiro.
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que quando
, .
Então, temos:
A função
é sempre positiva, então somente
é possível, o que ocorre quando
.
Portanto, novamente
e
.
Passo 4
Resumindo, para ambos os casos, encontramos que
e
, onde
é um número inteiro.
Então, todas as soluções para são:
Passo 5
Parte (ii):
Agora, queremos encontrar todos os
tais que .
Usando a mesma expressão para :
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Da primeira equação , temos novamente duas possibilidades:
Caso 1:
Isso implica
.
Substituindo na segunda equação:
Isso ocorre quando
, onde
é um número inteiro.
Caso 2:
Aqui,
.
Substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:
Como
é sempre positivo, não há solução neste caso, pois
não pode ser negativo.
Passo 7
Portanto, somente o primeiro caso fornece soluções válidas.
As soluções para são:
Passo 8
Parte (iii):
Agora, vamos encontrar todos os
que satisfazem
.
Sabemos que:
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 9
Da primeira equação
, temos duas possibilidades:
Caso 1:
A função
é sempre positiva para todo
real, então não há solução neste caso.
Caso 2:
Isso implica
, onde
é um número inteiro.
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:
Passo 10
Portanto, as soluções para
são:
Passo 11
Parte (iv):
Por fim, vamos encontrar todos os
tais que .
Usando a expressão para :
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 12
Da primeira equação , duas possibilidades:
Caso 1:
Isso implica
.
Substituindo na segunda equação:
Isso ocorre quando
, onde
é um número inteiro.
Caso 2:
Aqui,
.
Substituindo na segunda equação:
Sabemos que
nunca é zero, então para que o produto seja zero, deve-se ter , o que não acontece neste caso (pois
implica ).
Passo 13
Portanto, somente o primeiro caso fornece soluções válidas.
As soluções para são:
Resposta
As soluções para cada equação são:
i) :
ii) :
iii)
:
iv) :
Exercícios relacionados
Defina o seno e o co-seno hiperbólicos complexos por
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
.
Defina o seno e o co-seno complexos por
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.
Determine
onde
é cada um dos números
,
. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.
Use as partes real e imaginária da relação
para obter uma fórmula para
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)