Determine todos os z que satisfazem
(i) senh(z) = i
(ii) senh(z) = -i
(iii) cosh z = 0
(iv) senh(z) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números complexos que satisfazem certas equações envolvendo as funções hiperbólicas seno () e cosseno ( ). Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no contexto dos números complexos e usar um pouco de álgebra para resolver as equações. Vamos chegar lá passo a passo!

Passo 2

Parte (i):

Primeiro, queremos encontrar todos os tais que .
Sabemos que para um número complexo , onde e são números reais, as funções hiperbólicas podem ser expressas da seguinte forma:
Então, igualando a parte real e a imaginária:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Da primeira equação , temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
A função é igual a zero somente quando .
Então, .
Substituindo na segunda equação:
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro.
Caso 2:
A função quando , onde é um número inteiro.
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que quando , .
Então, temos:
A função é sempre positiva, então somente é possível, o que ocorre quando .
Portanto, novamente e .

Passo 4

Resumindo, para ambos os casos, encontramos que e , onde é um número inteiro.
Então, todas as soluções para são:

Passo 5

Parte (ii):

Agora, queremos encontrar todos os tais que .
Usando a mesma expressão para :
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Da primeira equação , temos novamente duas possibilidades:
Caso 1:
Isso implica .
Substituindo na segunda equação:
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro.
Caso 2:
Aqui, .
Substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:
Como é sempre positivo, não há solução neste caso, pois não pode ser negativo.

Passo 7

Portanto, somente o primeiro caso fornece soluções válidas.
As soluções para são:

Passo 8

Parte (iii):

Agora, vamos encontrar todos os que satisfazem .
Sabemos que:
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 9

Da primeira equação , temos duas possibilidades:
Caso 1:
A função é sempre positiva para todo real, então não há solução neste caso.
Caso 2:
Isso implica , onde é um número inteiro.
Agora, substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então:

Passo 10

Portanto, as soluções para são:

Passo 11

Parte (iv):

Por fim, vamos encontrar todos os tais que .
Usando a expressão para :
Igualando as partes real e imaginária:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 12

Da primeira equação , duas possibilidades:
Caso 1:
Isso implica .
Substituindo na segunda equação:
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro.
Caso 2:
Aqui, .
Substituindo na segunda equação:
Sabemos que nunca é zero, então para que o produto seja zero, deve-se ter , o que não acontece neste caso (pois implica ).

Passo 13

Portanto, somente o primeiro caso fornece soluções válidas.
As soluções para são:

Resposta

As soluções para cada equação são:
i) :
ii) :
iii) :
iv) :

Exercícios relacionados

Defina o seno e o co-seno hiperbólicos complexos por
cosh(z) = 1/2 (e^z + e^-z) senh(z) = 1/2 (e^z - e^-z)
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma u + i v.
Defina o seno e o co-seno complexos por
cos(z) = 1/2 (e^(i z) + e^(-i z)) sen(z) = 1/(2i) (e^(i z) - e^(-i z))
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma u + i v. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.
Determine arg_0(z) onde z é cada um dos números 1 + i, (1 + i)^4, (raiz(3)/2 + i)^5. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.
Use as partes real e imaginária da relação
1 + z + z^2 + ... + z^n = (1 - z^(n+1)) / (1 - z)
para obter uma fórmula para
(i) 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx)
(ii) sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx)
(iii) sen(theta) + sen(theta + phi) + ... + sen(theta + n phi)