Defina o seno e o co-seno hiperbólicos complexos por
cosh(z) = 1/2 (e^z + e^-z) senh(z) = 1/2 (e^z - e^-z)
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma u + i v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com as funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico ( ), definidas por:
Precisamos mostrar que essas funções são inteiras, calcular suas derivadas e expressá-las na forma cosh(z) = 1/2 (e^z + e^-z) senh(z) = 1/2 (e^z - e^-z). Para isso, vamos precisar entender o que são funções inteiras, saber como derivar funções complexas e saber como escrever funções complexas na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inteira. Uma função inteira é uma função que é analítica (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo C. Isso significa que não tem pontos onde a função “quebra” ou não pode ser derivada.
As funções exponenciais e^z e são conhecidas por serem inteiras, pois são analíticas em todo o plano complexo. Como e são combinações lineares dessas funções exponenciais, elas também são inteiras.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e . Para derivar essas funções, usamos a regra básica da derivada para exponenciais:
Então, aplicando isso nas definições de e , temos:
Portanto, a derivada de é e a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos expressar e na forma . Para isso, vamos considerar , onde e x são números reais.
Primeiro, vamos expandir y e e^z:
Agora, substituindo essas expressões nas definições de e :
Para :
Simplificando:
Então, temos:
Para :
Simplificando:
Então, temos:

Resposta

As funções e são inteiras, suas derivadas são e . Expressas na forma , elas são:

Exercícios relacionados