Defina o seno e o co-seno hiperbólicos complexos por
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com as funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico (
), definidas por:
Precisamos mostrar que essas funções são inteiras, calcular suas derivadas e expressá-las na forma
. Para isso, vamos precisar entender o que são funções inteiras, saber como derivar funções complexas e saber como escrever funções complexas na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inteira. Uma função inteira é uma função que é analítica (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo
. Isso significa que não tem pontos onde a função “quebra” ou não pode ser derivada.
As funções exponenciais
e
são conhecidas por serem inteiras, pois são analíticas em todo o plano complexo. Como
e são combinações lineares dessas funções exponenciais, elas também são inteiras.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e . Para derivar essas funções, usamos a regra básica da derivada para exponenciais:
Então, aplicando isso nas definições de
e , temos:
Portanto, a derivada de
é e a derivada de é
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
e na forma
. Para isso, vamos considerar
, onde
e
são números reais.
Primeiro, vamos expandir
e
:
Agora, substituindo essas expressões nas definições de
e :
Para
:
Simplificando:
Então, temos:
Para :
Simplificando:
Então, temos:
Resposta
As funções
e são inteiras, suas derivadas são e . Expressas na forma
, elas são:
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Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(j)
(j)
Determine todos os
que satisfazem
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Determine
onde
é cada um dos números
,
. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.