(5,0) Defina a transformação linear F: R^3 R^2 tal que F(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z) Verique que F é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é dita linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificação da Adição de Vetores
Sejam F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), 2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2)) e F(u + v) = (x1 + y1 + x2 + y2, 2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2) .
Primeiro, calculamos F(u) = (x1 + y1, 2x1 - y1 + z1) .
Aplicando F(v) = (x2 + y2, 2x2 - y2 + z2) em F(u) + F(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, 2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2) :
F(u + v) = F(u) + F(v)
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando:
Podemos ver que:
Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificação da Multiplicação por Escalar
Seja F(cu) = F(cx, cy, cz) = (cx + cy, 2(cx) - cy + cz) e F(cu) = (c(x + y), 2cx - cy + cz) = c(x + y, 2x - y + z) um escalar.
Primeiro, calculamos F(cu) = cF(u) .
Aplicando em :
Simplificando:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.

Resposta

Como as duas condições de linearidade foram atendidas, concluímos que é, de fato, uma transformação linear.

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