Defina a transformação linear
tal que
Verique que
é uma transformaçāo linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Uma transformação
é dita linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições forem verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
dada.
Passo 3
Verificação da Adição de Vetores
Sejam
e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando:
Podemos ver que:
Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificação da Multiplicação por Escalar
Seja
e
um escalar.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.
Resposta
Como as duas condições de linearidade foram atendidas, concluímos que
é, de fato, uma transformação linear.