Defina a transformação linear tal que Verique que é uma transformaçāo linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é dita linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificação da Adição de Vetores
Sejam e .
Primeiro, calculamos .
Aplicando em :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando:
Podemos ver que:
Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificação da Multiplicação por Escalar
Seja e um escalar.
Primeiro, calculamos .
Aplicando em :
Simplificando:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.

Resposta

Como as duas condições de linearidade foram atendidas, concluímos que é, de fato, uma transformação linear.

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Seja e . Verifique que e sāo espaços vetoriais.
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