(5,0) Defina a transformação linear F: R^3 R^2 tal que F(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z) Conclua que F é uma transformaçāo linear sobrejetora.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma transformação linear que pega vetores de e transforma em vetores de . A função é definida por . A nossa missão aqui é mostrar que essa transformação é sobrejetora, ou seja, que todo vetor em pode ser alcançado por essa função a partir de algum vetor em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como verificar se uma função é sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, a imagem de cobre todo o espaço de chegada .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos mostrar que, para qualquer vetor F(x, y, z) = (x + y, 2x - y + z) = (a, b) em x + y = a 2x - y + z = b , existe um vetor em tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam essas equações para quaisquer e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar y = a - x em termos de 2x - (a - x) + z = b 2x - a + x + z = b 3x - a + z = b :
z = b - 3x + a
Agora, substituímos na segunda equação:
Podemos resolver para :
Até aqui, percebemos que temos liberdade para escolher . Ou seja, podemos escolher qualquer valor para , e então determinar e com base nesse .

Passo 5

Isso significa que, para qualquer em , podemos escolher um de nossa preferência, calcular usando e depois calcular usando . Como sempre conseguimos encontrar pelo menos um conjunto de valores que satisfazem as equações, isso mostra que a transformação é sobrejetora.

Resposta

Portanto, concluímos que a transformação linear definida por é uma transformação sobrejetora de para .

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