Defina a transformação linear
tal que
Conclua que
é uma transformaçāo linear sobrejetora.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma transformação linear
que pega vetores de
e transforma em vetores de
. A função é definida por
. A nossa missão aqui é mostrar que essa transformação é sobrejetora, ou seja, que todo vetor em
pode ser alcançado por essa função a partir de algum vetor em
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como verificar se uma função é sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se, para todo vetor
em
, existe pelo menos um vetor
em
tal que
. Em outras palavras, a imagem de
cobre todo o espaço de chegada
.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos mostrar que, para qualquer vetor
em
, existe um vetor
em
tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar valores de
,
e
que satisfaçam essas equações para quaisquer
e
.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Podemos resolver para
:
Até aqui, percebemos que temos liberdade para escolher
. Ou seja, podemos escolher qualquer valor para
, e então determinar
e
com base nesse
.
Passo 5
Isso significa que, para qualquer
em
, podemos escolher um
de nossa preferência, calcular
usando
e depois calcular
usando
. Como sempre conseguimos encontrar pelo menos um conjunto de valores
que satisfazem as equações, isso mostra que a transformação
é sobrejetora.
Resposta
Portanto, concluímos que a transformação linear
definida por
é uma transformação sobrejetora de
para
.
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