(5,0) Seja U=(x, y, z) in R^3 ; z=x e (x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0. Determine o espaço U+V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o espaço , onde:
Basicamente, precisamos somar todos os vetores de com todos os vetores de . Para isso, vamos entender o que cada um desses espaços representa e como combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço u = (x, y, z) = (x, y, x) . Ele é definido por , então qualquer vetor em tem a forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o espaço z = -x - y . Ele é definido pela equação v = (x, y, z) = (x, y, -x - y) . Para encontrar uma forma paramétrica, podemos resolver essa equação para uma das variáveis. Por exemplo, resolvendo para :
Então, qualquer vetor em tem a forma:
Aqui, e também podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Agora, queremos encontrar todos os vetores que são a soma de um vetor de u + v = (x1, y1, x1) + (x2, y2, -x2 - y2) = (x1 + x2, y1 + y2, x1 - x2 - y2) com um vetor de . Ou seja, queremos .
Vamos somar as duas expressões que encontramos:
Aqui, vêm de e vêm de .

Passo 5

Para simplificar, vamos renomear as variáveis. Vamos chamar x1 - x2 - y2 = x1 - (x2 + y2) = x1 - (a - y1) = x1 - a + y1 e . Então, a terceira coordenada fica:
Mas como e são livres em , podemos ajustar as variáveis para cobrir todos os casos possíveis.

Passo 6

Observando a soma, percebemos que para qualquer valor de e , podemos escolher e de maneira que a terceira coordenada também possa assumir qualquer valor real. Isso significa que não há restrições adicionais nas coordenadas.

Passo 7

Portanto, a combinação de e gera todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de com um vetor de .

Resposta

O espaço é igual a .

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