Seja
e
. Determine o espaço
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o espaço
, onde:
Basicamente, precisamos somar todos os vetores de
com todos os vetores de
. Para isso, vamos entender o que cada um desses espaços representa e como combiná-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço
. Ele é definido por
, então qualquer vetor em
tem a forma:
Aqui,
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o espaço
. Ele é definido pela equação
. Para encontrar uma forma paramétrica, podemos resolver essa equação para uma das variáveis. Por exemplo, resolvendo para
:
Então, qualquer vetor em
tem a forma:
Aqui,
e
também podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Agora, queremos encontrar todos os vetores que são a soma de um vetor de
com um vetor de
. Ou seja, queremos
.
Vamos somar as duas expressões que encontramos:
Aqui,
vêm de
e
vêm de
.
Passo 5
Para simplificar, vamos renomear as variáveis. Vamos chamar
e
. Então, a terceira coordenada fica:
Mas como
e
são livres em
, podemos ajustar as variáveis para cobrir todos os casos possíveis.
Passo 6
Observando a soma, percebemos que para qualquer valor de
e
, podemos escolher
e
de maneira que a terceira coordenada também possa assumir qualquer valor real. Isso significa que não há restrições adicionais nas coordenadas.
Passo 7
Portanto, a combinação de
e
gera todo o espaço
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
com um vetor de
.
Resposta
O espaço
é igual a
.
Exercícios relacionados
Identificar a superfície
e a sua interseção com o plano
dado. Representar graficamente esta interseção no plano
.
e