Defina a transformação linear tal que Determine uma base e a dimensão .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar uma base para o núcleo de (denotado por ) e determinar a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, sistemas de equações lineares e conceitos de base e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear , , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:
Então, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções .
A primeira equação é:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 4

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de :
Isso significa que qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito como:
onde é um número real.

Passo 5

A expressão mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos escalares do vetor . Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 6

Como é gerado por um único vetor não nulo, cobrimos todo o núcleo com esse vetor. Isso significa que a dimensão de é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todo o espaço.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Defina a transformação linear tal que Verique que é uma transformaçāo linear.
Seja e . Determine o espaço .
Defina a transformação linear tal que Conclua que é uma transformaçāo linear sobrejetora.
Encontre os autovalores e autovetores das matrizes