(5,0) Defina a transformação linear F: R^3 R^2 tal que F(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z) Determine uma base e a dimensão ker(F).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar uma base para o núcleo de (denotado por ) e determinar a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, sistemas de equações lineares e conceitos de base e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear ker(F) = (x, y, z) in R^3 | F(x, y, z) = (0, 0) , x + y = 0 2x - y + z = 0 , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:
Então, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções x + y = 0 implies x = -y .
A primeira equação é:
2(-y) - y + z = 0 implies -2y - y + z = 0 implies -3y + z = 0 implies z = 3y
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 4

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de x = -y z = 3y :
(x, y, z) = (-y, y, 3y) = y cdot (-1, 1, 3)
Isso significa que qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito como:
onde é um número real.

Passo 5

A expressão mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos escalares do vetor . Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 6

Como é gerado por um único vetor não nulo, cobrimos todo o núcleo com esse vetor. Isso significa que a dimensão de é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todo o espaço.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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