Defina a transformação linear
tal que
Determine uma base e a dimensão
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. O objetivo é encontrar uma base para o núcleo de
(denotado por
) e determinar a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, sistemas de equações lineares e conceitos de base e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear
,
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Matemáticamente, isso significa:
Então, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções
.
A primeira equação é:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 4
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de
:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo de
pode ser escrito como:
onde
é um número real.
Passo 5
A expressão
mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos escalares do vetor
. Portanto, o núcleo
é gerado pelo vetor
.
Passo 6
Como
é gerado por um único vetor não nulo, cobrimos todo o núcleo com esse vetor. Isso significa que a dimensão de
é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todo o espaço.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 1.
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