Seja
e
. Verifique que
e
sāo espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os conjuntos
e
são espaços vetoriais. A matéria que estamos vendo aqui são os espaços vetoriais e os subespaços. Para provar que um conjunto é um espaço vetorial, a gente precisa verificar se ele satisfaz certos critérios, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos começar com o conjunto
. Primeiro, precisamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Passo 3
Substituindo
e
na condição de
, temos
, ou seja,
. Isso mostra que
está em
. Então,
contém o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores
e
em
, onde
e
.
Passo 5
A soma desses vetores é
. Substituindo
e
por
e
, temos
. Assim,
para a soma, e portanto
está em
.
Passo 6
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
em
e
um escalar qualquer. A multiplicação por escalar fica
.
Passo 7
Como
, ao multiplicarmos por
, teremos
. Portanto, a condição
ainda se mantém, e
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 8
Agora vamos para o conjunto
. Primeiro, verificamos se o vetor zero está em
. Substituindo
,
e
na condição
, temos
, então o vetor zero está em
.
Passo 9
Em seguida, vamos checar se
é fechado sob adição. Consideramos dois vetores
e
em
, onde
e
.
Passo 10
A soma desses vetores é
. Somando as coordenadas, temos
. Então,
está em
.
Passo 11
Finalmente, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
em
e
um escalar qualquer. A multiplicação por escalar fica
.
Passo 12
Somando as coordenadas, temos
. Portanto,
está em
, o que mostra que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que tanto
quanto
satisfazem todas as condições necessárias e, portanto, são espaços vetoriais.
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.
e
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