Seja e . Verifique que e sāo espaços vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os conjuntos e são espaços vetoriais. A matéria que estamos vendo aqui são os espaços vetoriais e os subespaços. Para provar que um conjunto é um espaço vetorial, a gente precisa verificar se ele satisfaz certos critérios, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos começar com o conjunto . Primeiro, precisamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é .

Passo 3

Substituindo e na condição de , temos , ou seja, . Isso mostra que está em . Então, contém o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Vamos considerar dois vetores e em , onde e .

Passo 5

A soma desses vetores é . Substituindo e por e , temos . Assim, para a soma, e portanto está em .

Passo 6

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Seja em e um escalar qualquer. A multiplicação por escalar fica .

Passo 7

Como , ao multiplicarmos por , teremos . Portanto, a condição ainda se mantém, e está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Agora vamos para o conjunto . Primeiro, verificamos se o vetor zero está em . Substituindo , e na condição , temos , então o vetor zero está em .

Passo 9

Em seguida, vamos checar se é fechado sob adição. Consideramos dois vetores e em , onde e .

Passo 10

A soma desses vetores é . Somando as coordenadas, temos . Então, está em .

Passo 11

Finalmente, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Seja em e um escalar qualquer. A multiplicação por escalar fica .

Passo 12

Somando as coordenadas, temos . Portanto, está em , o que mostra que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que tanto quanto satisfazem todas as condições necessárias e, portanto, são espaços vetoriais.

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