Encontre os autovalores e autovetores das matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores das matrizes e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores para matrizes quadradas, e vamos precisar aplicar características de matrizes triangulares que facilitarão nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Para matrizes triangulares (como e que temos aqui), os autovalores são diretamente os elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o processo!
Passo 3
Vamos começar com a matriz A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 :
lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos na diagonal principal. Assim, os autovalores de são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor (A - 3I) = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 , resolvemos a equação 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 5v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4v3 = 0 para o vetor v = v1 v2 0 .
Começando com 1 0 0:
0 1 0
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
As soluções são e livres. Então, os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher valores para e . Por exemplo, um autovetor pode ser e outro .