Encontre os autovalores e autovetores das matrizes

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores das matrizes e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores para matrizes quadradas, e vamos precisar aplicar características de matrizes triangulares que facilitarão nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Para matrizes triangulares (como e que temos aqui), os autovalores são diretamente os elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o processo!

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos na diagonal principal. Assim, os autovalores de são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor , resolvemos a equação para o vetor .
Começando com :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
As soluções são e livres. Então, os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher valores para e . Por exemplo, um autovetor pode ser e outro .

Passo 5

Agora, para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .

Passo 6

Agora vamos para a matriz :
Assim como , é uma matriz triangular superior, então os autovalores são os elementos da diagonal principal:

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores para . Começando com :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, implica . Da primeira equação, implica . Assim, é livre. Os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher , obtendo o autovetor .

Passo 8

Para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, implica . Substituindo na primeira equação:
Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
Matriz A:
  • Autovalores: (com multiplicidade 2) e
  • Autovetores:
    • Para : e
    • Para :
Matriz B:
  • Autovalores: (com multiplicidade 2) e
  • Autovetores:
    • Para :
    • Para :

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