Encontre os autovalores e autovetores das matrizes
A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ] B=[ccc 3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores das matrizes e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores para matrizes quadradas, e vamos precisar aplicar características de matrizes triangulares que facilitarão nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Para matrizes triangulares (como e que temos aqui), os autovalores são diretamente os elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o processo!

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 :
lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos na diagonal principal. Assim, os autovalores de são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor (A - 3I) = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 , resolvemos a equação 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 5v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4v3 = 0 para o vetor v = v1 v2 0 .
Começando com 1 0 0:
0 1 0
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
As soluções são e livres. Então, os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher valores para e . Por exemplo, um autovetor pode ser e outro .

Passo 5

Agora, para (A + I) = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 :
4v1 - 4v3 = 0 4v2 + 5v3 = 0 0 = 0
Resolvendo v = v3 1 -54 1 :
Isso nos dá as equações:
4 -5 4
Da primeira equação, . Da segunda, . Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .

Passo 6

Agora vamos para a matriz B = 3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 :
lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1
Assim como , é uma matriz triangular superior, então os autovalores são os elementos da diagonal principal:

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores para (B - 3I) = 0 & -3 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 . Começando com 0 cdot v1 - 3v2 - 4v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 5v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4v3 = 0 :
v = v1 0 0
Resolvendo 1 0 0:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, implica . Da primeira equação, implica . Assim, é livre. Os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher , obtendo o autovetor .

Passo 8

Para (B + I) = 4 & -3 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 :
4v1 - 3v2 - 4v3 = 0 0v1 + 4v2 + 5v3 = 0 0 = 0
Resolvendo 4v1 - 3(-54v3) - 4v3 = 0 4v1 + 154v3 - 4v3 = 0 4v1 - 14v3 = 0 v1 = 116v3 :
Isso nos dá as equações:
v = v3 116 -54 1
Da segunda equação, 1 -20 16 implica . Substituindo na primeira equação:
Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
Matriz A:
  • Autovalores: 1 0 0 (com multiplicidade 2) e 0 1 0
  • Autovetores:
    • Para 4 -5 4: 1 0 0 e 1 -20 16
    • Para :
Matriz B:
  • Autovalores: (com multiplicidade 2) e
  • Autovetores:
    • Para :
    • Para :

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