Encontre os autovalores e autovetores das matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores das matrizes e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores para matrizes quadradas, e vamos precisar aplicar características de matrizes triangulares que facilitarão nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Para matrizes triangulares (como e que temos aqui), os autovalores são diretamente os elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o processo!
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos na diagonal principal. Assim, os autovalores de são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor , resolvemos a equação para o vetor .
Começando com :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
As soluções são e livres. Então, os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher valores para e . Por exemplo, um autovetor pode ser e outro .
Passo 5
Agora, para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .
Passo 6
Agora vamos para a matriz :
Assim como , é uma matriz triangular superior, então os autovalores são os elementos da diagonal principal:
Passo 7
Vamos encontrar os autovetores para . Começando com :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, implica . Da primeira equação, implica . Assim, é livre. Os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher , obtendo o autovetor .
Passo 8
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, implica . Substituindo na primeira equação:
Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher para simplificar, obtendo o autovetor .
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores são: