Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! O enunciado nos pede para analisar a transformação linear definida por . Vamos precisar entender conceitos como núcleo (ou kernel), base do núcleo, dimensão desse subespaço e se a transformação é injetora. Para isso, vamos usar a teoria das transformações lineares e álgebra linear básica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver a equação .
Isso significa que:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
E da terceira equação:
Passo 4
Então, o único vetor que satisfaz todas essas equações é . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero.
Passo 5
Agora, vamos determinar uma base para esse núcleo. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Como o núcleo só contém o vetor zero, a base do núcleo é o conjunto vazio, porque não há vetores não nulos que possam formar uma base.
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como a base do núcleo está vazia, a dimensão do núcleo é 0.
Passo 7
Por último, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero. Como encontramos que o núcleo de é , isso significa que é injetora.
Resposta
O núcleo de é . Uma base para esse núcleo é o conjunto vazio e sua dimensão é 0. A transformação é injetora.