Defina o valor de
de maneira que a função
seja contínua na origem.
Passo 1
Estamos lidando com um exercício de cálculo sobre continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos encontrar o valor de
que faça com que a função
seja contínua na origem. Para isso, vamos usar o conceito de limite de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, a distância até a origem é
e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
por suas equivalentes em coordenadas polares:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Independente do valor de
, o produto tende a 0 porque
está multiplicando os termos trigonométricos que estão limitados.
Resposta
O valor de
torna a função contínua na origem.