Defina o valor de f(0, 0) de maneira que a função
f(x, y) = 13 x^2 y / (x^2 + y^2)
seja contínua na origem.

Passo 1

Estamos lidando com um exercício de cálculo sobre continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos encontrar o valor de que faça com que a função
seja contínua na origem. Para isso, vamos usar o conceito de limite de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, a distância até a origem é e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e por suas equivalentes em coordenadas polares:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:
Independente do valor de , o produto tende a 0 porque está multiplicando os termos trigonométricos que estão limitados.

Resposta

O valor de torna a função contínua na origem.

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