Uma função
é dita homogênea de grau
quando
, para todo
e todo
tal que
. Verifique se
são homogêneas. Em caso de afirmativo, determine o grau.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções homogêneas. Uma função
é chamada de homogênea de grau
se, ao multiplicarmos suas variáveis por um escalar
, a função resultante for igual a
vezes a função original. Ou seja,
.
Neste exercício, precisamos verificar se as seguintes funções são homogêneas e, em caso afirmativo, determinar o grau
:
Para isso, seguiremos os passos abaixo.
Passo 2
Função
Primeiro, vamos aplicar a definição de função homogênea. Substituímos
por
e
por
na função:
Agora, vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta na expressão:
Fatorando
:
Comparando com a definição
, vemos que
.
Passo 3
Função
Vamos aplicar a definição de função homogênea novamente. Substituímos
por
e
por
:
Simplificando cada parte:
No expoente
, os
se cancelam:
No denominador:
Substituindo de volta:
Isso significa que:
Comparando com
, temos que
.
Passo 4
Função
Vamos verificar a homogeneidade aplicando a definição. Substituímos
por
e
por
:
Podemos fatorar o
nas duas primeiras parcelas:
Agora, tentamos expressar isso como
:
Para que
, os termos devem corresponder. No entanto, temos um
que não é multiplicado por
. Isso significa que não existe um grau
que satisfaça a equação para todos os
.
Resposta
As funções
e
são homogêneas, com graus
e
, respectivamente. A função
não é homogênea.