Uma função f: D -> R é dita homogênea de grau n quando f(k x, k y) = k^n f(x, y), para todo k > 0 e todo (x, y) em D tal que (k x, k y) in D. Verifique se f(x, y) = 3x² + 6xy - y², g(x, y) = (x * e^(x / y)) / (x² + y²) * e h(x, y) = 3x + 4y - 3 são homogêneas. Em caso de afirmativo, determine o grau.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções homogêneas. Uma função é chamada de homogênea de grau se, ao multiplicarmos suas variáveis por um escalar , a função resultante for igual a vezes a função original. Ou seja, .
Neste exercício, precisamos verificar se as seguintes funções são homogêneas e, em caso afirmativo, determinar o grau :
Para isso, seguiremos os passos abaixo.

Passo 2

Função
Primeiro, vamos aplicar a definição de função homogênea. Substituímos por e por na função:
Agora, vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta na expressão:
Fatorando :
Comparando com a definição , vemos que .

Passo 3

Função
Vamos aplicar a definição de função homogênea novamente. Substituímos por e por :
Simplificando cada parte:
No expoente , os se cancelam:
No denominador:
Substituindo de volta:
Isso significa que:
Comparando com , temos que .

Passo 4

Função
Vamos verificar a homogeneidade aplicando a definição. Substituímos por e por :
Podemos fatorar o nas duas primeiras parcelas:
Agora, tentamos expressar isso como :
Para que , os termos devem corresponder. No entanto, temos um que não é multiplicado por . Isso significa que não existe um grau que satisfaça a equação para todos os .

Resposta

As funções e são homogêneas, com graus e , respectivamente. A função não é homogênea.

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