Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Espaços Vetoriais na área de Álgebra Linear. A gente precisa descobrir duas coisas sobre o conjunto
definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. As duas coisas que vamos descobrir são:
- A dimensão desse espaço vetorial
. - Uma base para
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos como sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é formado por todos os vetores
em
que satisfazem a equação linear:
Essa equação nos dá uma restrição linear entre as componentes
e
. Nosso objetivo é descrever todos os vetores que obedecem a essa condição.
Passo 3
Para achar a dimensão de
, precisamos descobrir quantas variáveis livres temos. Isso significa que vamos expressar algumas variáveis em função de outras.
Vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor em
como:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis livres
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Passo 5
A quantidade de vetores independentes que formam essa combinação linear nos dá a dimensão de
. Como temos três vetores aqui e eles são linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros), a dimensão de
é 3.
Passo 6
Agora, para encontrar uma base para
, basta pegar esses vetores independentes que usamos na combinação linear. Então, uma base para
é:
Esses vetores formam uma base porque eles são linearmente independentes e geram todo o espaço
.
Resposta
A dimensão de
é 3 e uma base para
é
.
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e
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(a) Do operador linear
de
dado por
.