Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Espaços Vetoriais na área de Álgebra Linear. A gente precisa descobrir duas coisas sobre o conjunto definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . As duas coisas que vamos descobrir são:
  1. A dimensão desse espaço vetorial .
  2. Uma base para .
Para resolver isso, vamos usar conceitos como sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é formado por todos os vetores em que satisfazem a equação linear:
Essa equação nos dá uma restrição linear entre as componentes e . Nosso objetivo é descrever todos os vetores que obedecem a essa condição.

Passo 3

Para achar a dimensão de , precisamos descobrir quantas variáveis livres temos. Isso significa que vamos expressar algumas variáveis em função de outras.
Vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar :
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis livres :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 5

A quantidade de vetores independentes que formam essa combinação linear nos dá a dimensão de . Como temos três vetores aqui e eles são linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros), a dimensão de é 3.

Passo 6

Agora, para encontrar uma base para , basta pegar esses vetores independentes que usamos na combinação linear. Então, uma base para é:
Esses vetores formam uma base porque eles são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Resposta

A dimensão de é 3 e uma base para é .

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(a) Do operador linear de dado por .