Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace. Precisaremos saber como calcular a transformada de Laplace de cada função e aplicar a propriedade da convolução na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução. Quando temos duas funções
e
, a convolução delas é definida por:
Mas, para facilitar nosso trabalho, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona convolução com multiplicação. Essa propriedade diz que:
Isso significa que a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada função individualmente.
Primeiro, para
:
Sabemos que:
Sabemos que:
Então, para
:
Segundo, para
:
Usamos a transformada de Laplace para uma função do tipo :
Usamos a transformada de Laplace para uma função do tipo
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora que temos as transformadas de Laplace das duas funções, vamos multiplicá-las conforme a propriedade da convolução:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Translação:
em que
, para calcular.
3.4.
3.4.
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
, onde
.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
, se
. A norma
.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das das superfícies
(cone) e o plano
.