Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.4. mathscrLt^2 * t e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace. Precisaremos saber como calcular a transformada de Laplace de cada função e aplicar a propriedade da convolução na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução. Quando temos duas funções (f * g)(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau e mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg , a convolução delas é definida por:
Mas, para facilitar nosso trabalho, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona convolução com multiplicação. Essa propriedade diz que:
Isso significa que a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada função individualmente.
Primeiro, para mathscrLt^n = n!s^n+1 :
Sabemos que:
mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3
Então, para mathscrLt e^at = 1(s - a)^2 :
mathscrLt e^t = 1(s - 1)^2
Segundo, para :
Usamos a transformada de Laplace para uma função do tipo :
Aqui, , então:

Passo 4

Agora que temos as transformadas de Laplace das duas funções, vamos multiplicá-las conforme a propriedade da convolução:
mathscrLt^2 * t e^t = mathscrLt^2 cdot mathscrLt e^t = 2s^3 cdot 1(s - 1)^2 = 2s^3(s - 1)^2

Resposta

mathscrLt^2 * t e^t = 2s^3(s - 1)^2

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