Define-se a convolução de duas funções e por
6.4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace. Precisaremos saber como calcular a transformada de Laplace de cada função e aplicar a propriedade da convolução na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução. Quando temos duas funções e , a convolução delas é definida por:
Mas, para facilitar nosso trabalho, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona convolução com multiplicação. Essa propriedade diz que:
Isso significa que a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada função individualmente.
Primeiro, para :
Sabemos que:
Então, para :
Segundo, para :
Usamos a transformada de Laplace para uma função do tipo :
Aqui, , então:

Passo 4

Agora que temos as transformadas de Laplace das duas funções, vamos multiplicá-las conforme a propriedade da convolução:

Resposta

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