Use o Teorema da Translação:
em que
, para calcular.
3.4.
3.4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Laplace. A gente precisa usar o Teorema da Translação, que nos ajuda a calcular a transformada de funções que têm um exponencial multiplicando uma outra função. No caso, a gente vai calcular a transformada de duas frações:
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema e manipular essas expressões para encontrar a transformada final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte:
. Pelo Teorema da Translação, sabemos que:
Aqui,
é a transformada de
. Comparando com nossa expressão, vemos que
e
seria a transformada de
. Então, precisamos saber qual é a transformada inversa de
.
Sabemos que:
Então, a transformada inversa de
é
. Agora, aplicando o Teorema da Translação:
Portanto, a transformada inversa de
��
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte:
. Primeiro, precisamos simplificar o denominador. Vamos completar o quadrado ou fatorar a expressão quadrática.
A equação quadrática
pode ser fatorada ou usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
. Assim, podemos fatorar a expressão:
Agora, a fração fica:
Para simplificar, vamos usar frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separado:
Aplicando isso aos nossos termos:
Portanto, a transformada inversa de
é:
Resposta
Combinando as duas partes que calculamos, a transformada inversa completa é:
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Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
, onde
.
Determine o domínio das funções vetoriais.
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.4.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
, se
. A norma
.