Use o Teorema da Translação: em que , para calcular.
3.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Laplace. A gente precisa usar o Teorema da Translação, que nos ajuda a calcular a transformada de funções que têm um exponencial multiplicando uma outra função. No caso, a gente vai calcular a transformada de duas frações: e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema e manipular essas expressões para encontrar a transformada final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte: . Pelo Teorema da Translação, sabemos que:
Aqui, é a transformada de . Comparando com nossa expressão, vemos que e seria a transformada de . Então, precisamos saber qual é a transformada inversa de .
Sabemos que:
Então, a transformada inversa de é . Agora, aplicando o Teorema da Translação:
Portanto, a transformada inversa de �� .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: . Primeiro, precisamos simplificar o denominador. Vamos completar o quadrado ou fatorar a expressão quadrática.
A equação quadrática pode ser fatorada ou usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . Assim, podemos fatorar a expressão:
Agora, a fração fica:
Para simplificar, vamos usar frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separado:
Aplicando isso aos nossos termos:
Portanto, a transformada inversa de é:

Resposta

Combinando as duas partes que calculamos, a transformada inversa completa é:

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