Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.3. mathscrLt^2 * t^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções, que são e . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace e a convolução de funções. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a transformada de Laplace de funções polinomiais e usar a propriedade da convolução no contexto da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau é dada por:
mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg
Mas, no caso da transformada de Laplace, existe uma propriedade bem legal que diz que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada função individualmente.
Para mathscrLt^n = n!s^n+1 :
A transformada de Laplace de mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3 é:
Então, para :

Passo 4

Para mathscrLt^4 = 4!s^5 = 24s^5 :
Usando a mesma fórmula:

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade da convolução:
mathscrLt^2 * t^4 = mathscrLt^2 cdot mathscrLt^4 = 2s^3 cdot 24s^5 = 48s^8

Resposta

mathscrLt^2 * t^4 = 48s^8

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