Determine uma expressão para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma expressão para a derivada em relação ao tempo de . Isso significa que estamos trabalhando com vetores que mudam com o tempo e queremos ver como essa combinação deles muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar (ou produto interno), o produto vetorial e as regras de derivação para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o produto escalar entre os vetores e . E é o produto vetorial entre e . Nosso objetivo é derivar o produto escalar de com em relação ao tempo .

Passo 3

Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada do produto vetorial . A derivada do produto vetorial de dois vetores é dada por:

Passo 5

Substituindo essa expressão na equação que obtivemos no Passo 3, temos:

Passo 6

Vamos agora separar esses termos usando a propriedade do produto escalar:

Passo 7

Observando a segunda parte, , notamos que o produto escalar de um vetor com seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero. Ou seja:

Passo 8

Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 9

Agora, vamos utilizar uma identidade vetorial importante: para quaisquer vetores , e , temos:
Usando essa identidade, podemos reescrever os termos:
E

Passo 10

Substituindo de volta, temos:

Resposta

Finalmente, percebemos que os dois termos são iguais em magnitude, mas de sinais opostos, então a expressão final é igual a zero:

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Determine o comprimento da curva dada. .
Define-se a convolução de duas funções e por
6.3.
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(b) ( ) A série converge pois para todo .