Determine uma expressão para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma expressão para a derivada em relação ao tempo de
. Isso significa que estamos trabalhando com vetores que mudam com o tempo e queremos ver como essa combinação deles muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar (ou produto interno), o produto vetorial e as regras de derivação para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o produto escalar entre os vetores
e
. E
é o produto vetorial entre
e
. Nosso objetivo é derivar o produto escalar de
com
em relação ao tempo
.
Passo 3
Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada do produto vetorial
. A derivada do produto vetorial de dois vetores é dada por:
Passo 5
Substituindo essa expressão na equação que obtivemos no Passo 3, temos:
Passo 6
Vamos agora separar esses termos usando a propriedade do produto escalar:
Passo 7
Observando a segunda parte,
, notamos que o produto escalar de um vetor com seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero. Ou seja:
Passo 8
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 9
Agora, vamos utilizar uma identidade vetorial importante: para quaisquer vetores
,
e
, temos:
Usando essa identidade, podemos reescrever os termos:
E
Passo 10
Substituindo de volta, temos:
Resposta
Finalmente, percebemos que os dois termos são iguais em magnitude, mas de sinais opostos, então a expressão final é igual a zero:
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Determine o comprimento da curva dada.
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.3.
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(b) ( ) A série