Encontre uma equação para a reta normal à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação da reta normal à curva de intersecção de dois cilindros no ponto . A matéria que vamos usar aqui inclui geometria analítica, especialmente noções sobre curvas no espaço e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta normal em um ponto específico de uma curva formada pela intersecção de duas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos cilindros:
Essas são equações de cilindros circulares com eixos diferentes.

Passo 3

A curva de intersecção dessas duas superfícies é onde ambas as equações são satisfeitas simultaneamente. Nosso objetivo é encontrar a reta normal a essa curva no ponto .

Passo 4

Para encontrar a reta normal, precisamos primeiro determinar o vetor tangente à curva no ponto dado. Uma maneira de fazer isso é calcular o gradiente de ambas as funções que definem os cilindros e, em seguida, encontrar um vetor perpendicular a ambos os gradientes, que será o vetor tangente.

Passo 5

Vamos definir as funções:
Calculamos os gradientes dessas funções:

Passo 6

No ponto , os gradientes são:

Passo 7

Para encontrar um vetor tangente à curva de intersecção, precisamos calcular o produto vetorial dos gradientes e :

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor tangente é .

Passo 9

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor que seja perpendicular ao vetor tangente. Esse vetor normal será paralelo ao vetor normal da curva de intersecção. Uma maneira de encontrar isso é usar o vetor gradiente de uma função que define a curva.
Como já temos os vetores gradiente de e , podemos usar um deles como vetor normal. Vamos usar .

Passo 10

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta normal à curva de intersecção dos cilindros no ponto é:

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Determine o comprimento da curva dada. .