Determine o comprimento da curva dada. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de de a . Vamos usar o conteúdo de Cálculo, mais especificamente o cálculo de comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada de em relação a é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) da derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Sabemos que (pela identidade trigonométrica fundamental), então:

Passo 4

Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora escrever a fórmula para o comprimento da curva :
Como é uma constante, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Portanto:

Resposta

O comprimento da curva é .

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