Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de de a . Vamos usar o conteúdo de Cálculo, mais especificamente o cálculo de comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada de em relação a é dada por:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) da derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Sabemos que (pela identidade trigonométrica fundamental), então:
Passo 4
Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora escrever a fórmula para o comprimento da curva :
Como é uma constante, podemos simplificar a integral: