Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções
e
. Aqui, estamos lidando com a convolução de duas funções e usando a transformada de Laplace para simplificar o cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
é definida por:
Isso basicamente combina duas funções em uma, levando em conta como uma muda ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace que relaciona a convolução com o produto das transformadas individuais. Ou seja:
Isso facilita muito nosso trabalho, porque ao invés de calcular a convolução diretamente, podemos simplesmente multiplicar as transformadas de Laplace das funções envolvidas.
Passo 4
Vamos calcular a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
. Para isso, usamos a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora que temos as duas transformadas de Laplace, vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A transformada de Laplace da convolução
é: