Define-se a convolução de duas funções e por
6.5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Aqui, estamos lidando com a convolução de duas funções e usando a transformada de Laplace para simplificar o cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução é definida por:
Isso basicamente combina duas funções em uma, levando em conta como uma muda ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace que relaciona a convolução com o produto das transformadas individuais. Ou seja:
Isso facilita muito nosso trabalho, porque ao invés de calcular a convolução diretamente, podemos simplesmente multiplicar as transformadas de Laplace das funções envolvidas.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Laplace de . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . Para isso, usamos a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora que temos as duas transformadas de Laplace, vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:

Exercícios relacionados

Verifique que o teste da integral pode ser aplicado e utilize-o para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Mostre que a série de funções é convergente, qualquer que seja .