Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.5. mathscrLe^-t * e^t cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Aqui, estamos lidando com a convolução de duas funções e usando a transformada de Laplace para simplificar o cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução f * g = integral0^t f(tau) , g(t - tau) , dtau é definida por:
Isso basicamente combina duas funções em uma, levando em conta como uma muda ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace que relaciona a convolução com o produto das transformadas individuais. Ou seja:
mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg
Isso facilita muito nosso trabalho, porque ao invés de calcular a convolução diretamente, podemos simplesmente multiplicar as transformadas de Laplace das funções envolvidas.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Laplace de mathscrLe^-at = 1s + a . Sabemos que:
mathscrLe^-t = 1s + 1
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de mathscrLe^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2 . Para isso, usamos a fórmula:
mathscrLe^t cos t = s - 1(s - 1)^2 + 1
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora que temos as duas transformadas de Laplace, vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:
mathscrLe^-t * e^t cos t = mathscrLe^-t cdot mathscrLe^t cos t
Substituindo os valores que encontramos:
mathscrLe^-t * e^t cos t = 1s + 1 cdot s - 1(s - 1)^2 + 1

Resposta

A transformada de Laplace da convolução mathscrLe^-t * e^t cos t = s - 1(s + 1)[(s - 1)^2 + 1] é:

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