Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente a função secante ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a expressão para algo que já sabemos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de . Nesse caso, vamos deixar . Isso torna a expressão dentro da secante mais simples e nos ajuda a aplicar a substituição.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de , ou seja, . Derivando em relação a , temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Aqui, tiramos a constante para fora da integral, facilitando a resolução.

Passo 5

Sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(a) ( ) A sequência definida por é monótona não-decrescente.
Verifique que o teste da integral pode ser aplicado e utilize-o para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Define-se a convolução de duas funções e por
6.5.