integral sec ^2(2 x-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente a função secante ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a expressão para algo que já sabemos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de . Nesse caso, vamos deixar . Isso torna a expressão dentro da secante mais simples e nos ajuda a aplicar a substituição.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de du = 2 , dx , ou seja, dx = du2 . Derivando em relação a , temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Substituímos integral sec^2(2x - 3) , dx = integral sec^2(u) cdot du2 = 12 integral sec^2(u) , du e na integral original:
Aqui, tiramos a constante para fora da integral, facilitando a resolução.

Passo 5

Sabemos que a integral de 12 integral sec^2(u) , du = 12 tan(u) + C em relação a é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos 12 tan(u) + C = 12 tan(2x - 3) + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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