Verifique que o teste da integral pode ser aplicado e utilize-o para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita e precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o teste da integral, que faz parte do conteúdo de convergência de séries. Vamos precisar saber como aplicar esse teste para determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Ele nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com a integral de uma função contínua, positiva e decrescente. Ou seja, se a integral converge, então a série também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos identificar a função correspondente à nossa série. Na série , temos . Para aplicar o teste da integral, substituímos por :

Passo 4

Agora, vamos verificar se é contínua, positiva e decrescente para .
  1. Continuidade: A função é contínua para porque o denominador nunca é zero nesse intervalo.
  2. Positividade: Para , o denominador é sempre positivo, então também é positiva.
  3. Decrescente: A derivada de em relação a é:
Como para , a função é decrescente.

Passo 5

Como atende a todas as condições do teste da integral, podemos aplicá-lo. Vamos calcular a integral:
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então , ou seja, .
Substituindo:
Voltando para :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o limite da integral quando tende ao infinito:
O termo tende ao infinito quando tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 7

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série também diverge. Isso significa que a série não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente; ela simplesmente não converge.

Resposta

A série é divergente.

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Define-se a convolução de duas funções e por
6.5.