Verifique que o teste da integral pode ser aplicado e utilize-o para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
e precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o teste da integral, que faz parte do conteúdo de convergência de séries. Vamos precisar saber como aplicar esse teste para determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Ele nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com a integral de uma função contínua, positiva e decrescente. Ou seja, se a integral
converge, então a série
também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos identificar a função
correspondente à nossa série. Na série
, temos
. Para aplicar o teste da integral, substituímos
por
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é contínua, positiva e decrescente para
.
- Continuidade: A função
é contínua para porque o denominador nunca é zero nesse intervalo. - Positividade: Para
, o denominador é sempre positivo, então também é positiva. - Decrescente: A derivada de
em relação a é:
Como
para
, a função é decrescente.
Passo 5
Como
atende a todas as condições do teste da integral, podemos aplicá-lo. Vamos calcular a integral:
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o limite da integral quando
tende ao infinito:
O termo
tende ao infinito quando
tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 7
Como a integral
diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge. Isso significa que a série não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente; ela simplesmente não converge.
Resposta
A série
é divergente.
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(a) ( ) A sequência
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.5.