Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.9. mathscrL^-11(s+1)(s-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Para isso, a gente vai precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar funções mais complicadas em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(s+1)(s-2) = As+1 + Bs-2 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa expressão como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores originais. Ou seja, queremos achar constantes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(s-2) + B(s+1) e 1 = A(2-2) + B(2+1) Rightarrow 1 = 0 + 3B Rightarrow B = 13 . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(-1-2) + B(-1+1) Rightarrow 1 = -3A + 0 Rightarrow A = -13 :
1(s+1)(s-2) = -13cdot 1s+1 + 13cdot 1s-2
Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, se :
Agora, se :
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos a expressão decompondo em frações mais simples, vamos usar a tabela de transformadas inversas de Laplace que a gente conhece:
mathscrL^-11s+a = e^-at
Aplicando isso para cada termo:
mathscrL^-1-13cdot 1s+1 = -13 e^-t
mathscrL^-113cdot 1s-2 = 13 e^2t

Resposta

Juntando os dois termos, a transformada inversa de Laplace é:
mathscrL^-11(s+1)(s-2) = 13 e^2t - 13 e^-t

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