Define-se a convolução de duas funções e por
6.9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Para isso, a gente vai precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar funções mais complicadas em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa expressão como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores originais. Ou seja, queremos achar constantes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, se :
Agora, se :
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos a expressão decompondo em frações mais simples, vamos usar a tabela de transformadas inversas de Laplace que a gente conhece:
Aplicando isso para cada termo:

Resposta

Juntando os dois termos, a transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(b) ( ) A série converge pois para todo .
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.