(2,0) Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série sumn=1^infty 2^n-15^n+1 e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é uma soma dos termos sumn=1^infty 2^n-15^n+1. O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série.
  2. Determinar se a série converge (ou seja, se a soma dela dá um valor finito) ou diverge.
  3. Se a série convergir, calcular o valor da soma.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar se ela é uma série geométrica. O termo geral dado é 2^n-15^n+1.
Podemos reescrever esse termo da seguinte maneira:
2^n-15^n+1 = 2^n-15^n cdot 5 = 2^n-15 cdot 15^n
Simplificando ainda mais:
2^n-15^n+1 = 15 cdot (25)^n-1
Agora, vemos que a série é uma série geométrica onde a razão r é 25.

Passo 3

Para encontrar o termo geral da sequência de somas parciais, que chamaremos de Sn, usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma série geométrica:
Sn = a1 cdot 1 - r^n1 - r
Onde:
  • a1 é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo a1 quando n=1 é:
a1 = 2^1-15^1+1 = 2^05^2 = 125
Então, substituindo na fórmula:
Sn = 125 cdot 1 - (25)^n1 - 25 = 125 cdot 1 - (25)^n35 = 125 cdot 53 cdot (1 - (25)^n) = 115 (1 - (25)^n)

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1.
No nosso caso:
|25| = 25 < 1
Como |r| < 1, a série converge. Para encontrar a soma da série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Substituindo os valores:
S = 1251 - 25 = 12535 = 125 cdot 53 = 115

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é Sn = 115 (1 - (25)^n). A série converge e a soma da série infinita é 115.

Exercícios relacionados