Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é uma soma dos termos . O que precisamos fazer é:
Encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série.
Determinar se a série converge (ou seja, se a soma dela dá um valor finito) ou diverge.
Se a série convergir, calcular o valor da soma.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar se ela é uma série geométrica. O termo geral dado é .
Podemos reescrever esse termo da seguinte maneira:
Simplificando ainda mais:
Agora, vemos que a série é uma série geométrica onde a razão é .
Passo 3
Para encontrar o termo geral da sequência de somas parciais, que chamaremos de , usamos a fórmula da soma dos primeiros termos de uma série geométrica:
Onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando é:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1.
No nosso caso:
Como , a série converge. Para encontrar a soma da série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:
Resposta
O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e a soma da série infinita é .