Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é uma soma dos termos . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série.
  2. Determinar se a série converge (ou seja, se a soma dela dá um valor finito) ou diverge.
  3. Se a série convergir, calcular o valor da soma.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar se ela é uma série geométrica. O termo geral dado é .
Podemos reescrever esse termo da seguinte maneira:
Simplificando ainda mais:
Agora, vemos que a série é uma série geométrica onde a razão é .

Passo 3

Para encontrar o termo geral da sequência de somas parciais, que chamaremos de , usamos a fórmula da soma dos primeiros termos de uma série geométrica:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando é:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1.
No nosso caso:
Como , a série converge. Para encontrar a soma da série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e a soma da série infinita é .

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