(2,0) Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série sumn=1^infty 4(n+1) cdot 3(n+2) e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^infty 4(n+1) cdot 3(n+2)
O que precisamos fazer é encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série e descobrir se ela converge (ou seja, se a soma tende a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, somas parciais e métodos para determinar a convergência, como a soma de telescópio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Multiplicando as frações temos:
4n+1 cdot 3n+2 = 12(n+1)(n+2)
Então, a série fica:
sumn=1^infty 12(n+1)(n+2)

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a fração 12(n+1)(n+2). Para simplificar, podemos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a quebrar a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
12(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2) para eliminar os denominadores:
12 = A(n+2) + B(n+1)
Agora, vamos resolver para A e B escolhendo valores de n que simplifiquem a equação. Se n = -2:
12 = A(0) + B(-1) Rightarrow 12 = -B Rightarrow B = -12
Se n = -1:
12 = A(1) + B(0) Rightarrow 12 = A Rightarrow A = 12

Passo 5

Então, agora podemos reescrever a fração original como:
12(n+1)(n+2) = 12n+1 - 12n+2
Isso é ótimo porque a série agora se torna uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos escrever as somas parciais Sk da série até o termo k:
Sk = sumn=1^k ( 12n+1 - 12n+2 )
Se expandirmos, teremos:
Sk = ( 122 - 123 ) + ( 123 - 124 ) + dots + ( 12k+1 - 12k+2 )

Passo 7

Observamos que a maior parte dos termos se cancelam:
Sk = 122 - 12k+2
Simplificando:
Sk = 6 - 12k+2
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.

Passo 8

Agora, para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de Sk quando k tende ao infinito:
limk to infty Sk = limk to infty ( 6 - 12k+2 ) = 6 - 0 = 6
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

O termo geral das somas parciais é Sk = 6 - 12k+2 e a série converge, com a soma total igual a 6.

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