Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série
e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O que precisamos fazer é encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série e descobrir se ela converge (ou seja, se a soma tende a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, somas parciais e métodos para determinar a convergência, como a soma de telescópio.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Multiplicando as frações temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a fração
. Para simplificar, podemos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a quebrar a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para A e B escolhendo valores de n que simplifiquem a equação. Se n = -2:
Se n = -1:
Passo 5
Então, agora podemos reescrever a fração original como:
Isso é ótimo porque a série agora se torna uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Vamos escrever as somas parciais
da série até o termo k:
Se expandirmos, teremos:
Passo 7
Observamos que a maior parte dos termos se cancelam:
Simplificando:
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.
Passo 8
Agora, para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de
quando k tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
O termo geral das somas parciais é
e a série converge, com a soma total igual a 6.
Exercícios relacionados
Determine uma expressão para
.
Determine o comprimento da curva dada.
.
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(b) ( ) A série
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.9.