Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série e determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O que precisamos fazer é encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série e descobrir se ela converge (ou seja, se a soma tende a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, somas parciais e métodos para determinar a convergência, como a soma de telescópio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Multiplicando as frações temos:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a fração . Para simplificar, podemos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a quebrar a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes A e B tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para A e B escolhendo valores de n que simplifiquem a equação. Se n = -2:
Se n = -1:

Passo 5

Então, agora podemos reescrever a fração original como:
Isso é ótimo porque a série agora se torna uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos escrever as somas parciais da série até o termo k:
Se expandirmos, teremos:

Passo 7

Observamos que a maior parte dos termos se cancelam:
Simplificando:
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.

Passo 8

Agora, para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de quando k tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

O termo geral das somas parciais é e a série converge, com a soma total igual a 6.

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6.9.